परिपथ विश्लेषण 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का धारा नियम: ΣI_in = ΣI_out
शाखा धारा: I = (V_a − V_b)/R
संदर्भ नोड: V_ground = 0

विधि

एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
हर शाखा धारा को (V_a − V_b)/R के रूप में व्यक्त करें।
समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

मेश विश्लेषण

किरचॉफ का वोल्टता नियम: हर लूप के चारों ओर ΣV = 0
साझा प्रतिरोध: धारा = I₁ − I₂
मेश में धारा स्रोत: उस मेश की धारा तय करता है

विधि

परिपथ के हर मेश (खिड़की) में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ।
हर मेश के चारों ओर किरखॉफ़ का वोल्टता नियम लगाएँ: वोल्टता पातों का योग शून्य है।
दो मेशों के साझा प्रतिरोधक में धारा दोनों मेश धाराओं का अंतर होती है।
समीकरण हल करें; ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि धारा उलटी दिशा में बहती है।

अध्यारोपण

अध्यारोपण: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
बंद वोल्टता स्रोत: शॉर्ट सर्किट (0 V)
बंद धारा स्रोत: खुला परिपथ (0 A)
वोल्टता विभाजक: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
धारा विभाजक: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

विधि

स्वतंत्र स्रोत गिनें। आप हर स्रोत के लिए एक सरल परिपथ हल करेंगे।
एक स्रोत रखें और बाकी बंद कर दें: वोल्टता स्रोत लघु परिपथ (एक तार) बन जाता है, धारा स्रोत खुला परिपथ (एक अंतराल) बन जाता है।
सरल परिपथ में आवश्यक वोल्टता या धारा ज्ञात करें, उसकी दिशा का ध्यान रखते हुए।
हर स्रोत के लिए दोहराएँ, फिर योगदानों को उनके चिह्नों सहित जोड़ें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

ऑप-एम्प परिपथ

इनवर्टिंग प्रवर्धक: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
नॉन-इनवर्टिंग प्रवर्धक: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
योगकारी प्रवर्धक: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
आदर्श ऑप-एम्प: V₊ = V₋, I_in = 0

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

2अभ्यास प्रश्न

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.नोडल विश्लेषणमध्यम

नोड A और ग्राउंड के बीच तीन शाखाएँ जुड़ी हैं, जैसा दिखाया गया है। नोडल विश्लेषण से शाखा 3 में तीर की दिशा में ऊपर नोड A की ओर बहती धारा I₃ ज्ञात कीजिए।

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩV₂ = 12 VR₂ = 3 ΩV₃ = 9 VR₃ = 8 Ω

I₃ = A

4.नोडल विश्लेषणकठिन

नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R₁ से होकर धारा I_R1 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 6 VI_s = 5 AV₂ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 Ω

I_R1 = A

5.मेश विश्लेषणमध्यम

मेश विश्लेषण से मेश धारा I₁ (दक्षिणावर्त) ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 Ω

I₁ = A

6.मेश विश्लेषणकठिन

मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R₄ से होकर धारा I_R4 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 4 Ω

I_R4 = A

7.अध्यारोपणमध्यम

अध्यारोपण से R₃ द्वारा अवशोषित शक्ति P_R3 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

P_R3 = W

8.अध्यारोपणकठिन

अध्यारोपण से R₂ द्वारा अवशोषित शक्ति P_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 5 VI_s = 2 AV₂ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 30 Ω

P_R2 = W

9.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

टर्मिनल a–b से देखा गया थेवेनिन प्रतिरोध R_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

10.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

a–b के बीच भार R_L = 20 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा I_L ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

11.ऑप-एम्प परिपथमध्यम

ऑप-एम्प आदर्श है और ±15 V आपूर्ति से चलता है। आउटपुट वोल्टता V_out ज्ञात कीजिए।

V_in = 1.3 VR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.ऑप-एम्प परिपथकठिन

योजक एम्पलीफ़ायर ±15 V आपूर्ति वाले आदर्श ऑप-एम्प का उपयोग करता है। आउटपुट वोल्टता V_out ज्ञात कीजिए।

V₁ = 1.2 VV₂ = −0.5 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

13.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 5 ms पर प्रेरक पर वोल्टता v_L ज्ञात कीजिए।

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_L = V

14.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 0 के कितनी देर बाद प्रेरक धारा 0.373 A तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩL = 68 mH

t = ms

3विलयन

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 1.346 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9.375 Ω

R_eq = R₁ + 9.375 = 4 + 9.375 = 13.38 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13.38 = 1.346 A

उत्तर

I_R1 = 1.346 A

2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 2.219 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 7.143 Ω

R₃ + 7.143 = 13.14 Ω

R₂ ∥ 13.14 = 5.679 Ω

R_eq = R₁ + 5.679 = 2 + 5.679 = 7.679 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 30/7.679 = 3.907 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3.907·2 = 22.19 V

I_R2 = V_A/R₂ = 22.19/10 = 2.219 A

उत्तर

I_R2 = 2.219 A

3.नोडल विश्लेषण

उत्तर: I₃ = −0.7595 A

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

नोड A पर KCL

नीचे वाले तार को ग्राउंड लें। हर शाखा A से दूर (V_A − V_k)/R_k वहन करती है, जहाँ V_k उसके स्रोत की वोल्टता है (साधारण प्रतिरोधक के लिए शून्य)। A से निकलने वाली धाराओं का योग शून्य है।

(V_A − 24)/5 + (V_A − 12)/3 + (V_A − 9)/8 = 0

V_A के लिए हल करें

V_A = (24/5 + 12/3 + 9/8) / (1/5 + 1/3 + 1/8) = 9.925/0.6583 = 15.08 V

शाखा धारा

तीर शाखा से होकर ऊपर, नोड A की ओर इंगित करता है।

I₃ = (9 − V_A)/R₃ = (9 − 15.08)/8 = −0.7595 A

उत्तर

I₃ = −0.7595 A

ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तविक धारा तीर के विपरीत बहती है।

4.नोडल विश्लेषण

उत्तर: I_R1 = −0.1878 A

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V₁ = 6 V, V₂ = −6 V)। अज्ञात: V_A, V_B।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 6)/25 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.44·V_A − 0.3333·V_B = 0.24

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/3 + (V_B − (−6))/8 = 5

−0.3333·V_A + 0.5833·V_B = 4.25

हल करें

Δ = (0.44)(0.5833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1456

V_A = Δ₁/Δ = 1.557/0.1456 = 10.69 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.95/0.1456 = 13.4 V

उत्तर

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (6 − 10.69)/25 = −0.1878 A

5.मेश विश्लेषण

उत्तर: I₁ = 0.3333 A

मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I₁, I₂। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 9

11·I₁ − 8·I₂ = 9

मेश 2 के चारों ओर KVL

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−18)

−8·I₁ + 23·I₂ = −18

हल करें

Δ = (11)(23) − (−8)(−8) = 189

I₁ = Δ₁/Δ = 63/189 = 0.3333 A

I₂ = Δ₂/Δ = −126/189 = −0.6667 A

उत्तर

I₁ = 0.3333 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

6.मेश विश्लेषण

उत्तर: I_R4 = 0.3158 A

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I₁, I₂, I₃। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 18

45·I₁ − 25·I₂ = 18

मेश 2 के चारों ओर KVL

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 37·I₂ − 4·I₃ = 0

मेश 3 के चारों ओर KVL

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

4·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−12)

−4·I₂ + 8·I₃ = −12

हल करें

Δ = गुणांक आव्यूह का सारणिक = 7600

I₁ = Δ₁/Δ = 3840/7600 = 0.5053 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1440/7600 = 0.1895 A

I₃ = Δ₃/Δ = −10680/7600 = −1.405 A

उत्तर

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.3158 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

7.अध्यारोपण

उत्तर: P_R3 = 19.96 W

अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।

स्थिति 1 · केवल V₁

Iₛ खुला परिपथ बन जाता है, इसलिए R₃ और R₄ A से ग्राउंड तक एक श्रेणी शाखा बनाते हैं, जो R₂ के समांतर है।

R₃+R₄ = 15+5 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

V_A = 18·8.571/(4+8.571) = 12.27 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 12.27·5/20 = 3.068 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (12.27 − 3.068)/15 = 0.6136 A

स्थिति 2 · केवल I_s

V₁ शॉर्ट बन जाता है, इसलिए R₁, R₂ के समांतर है। Iₛ, B पर R₄ और R₃ वाले पथ के बीच बँटता है। Iₛ का तीर नीचे, अपने नोड से दूर की ओर है, इसलिए Iₛ उस नोड से धारा बाहर खींचता है: उसका पद ऋण चिह्न के साथ आता है।

R₁ ∥ R₂ = 4·15/(4+15) = 3.158 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 18.16 = 3.92 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2.5·3.92 = −9.801 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −9.801·3.158/18.16 = −1.705 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (−1.705 − −9.801)/15 = 0.5398 A

धारा योगदान जोड़ें

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ = 0.6136 + 0.5398 = 1.153 A

प्रतिरोधक में शक्ति

शक्ति धारा के वर्ग पर निर्भर करती है, इसलिए वह अध्यारोपण का पालन नहीं करती: पहले धाराएँ जोड़ें, फिर वर्ग करें।

P_R3 = I_R3²·R₃ = 1.153²·15 = 19.96 W

उत्तर

P_R3 = 19.96 W

अलग-अलग स्थितियों की शक्तियाँ जोड़ने से 10.02 W आता, जो गलत है।

8.अध्यारोपण

उत्तर: P_R2 = 13.46 W

स्थिति 1 · केवल V₁

V₂ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। A से देखने पर R₃, श्रेणी युग्म R₂+R₄ के समांतर है।

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 3 ∥ 33 = 2.75 Ω

V_A = 5·2.75/(5+2.75) = 1.774 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.774·30/33 = 1.613 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (1.774 − 1.613)/3 = 0.05376 A

स्थिति 2 · केवल I_s

दोनों वोल्टता स्रोत शॉर्ट बन जाते हैं। Iₛ, B पर R₄ (अब ग्राउंड तक) और R₁ ∥ R₃ के साथ श्रेणी में R₂ के बीच बँटता है। Iₛ का तीर नीचे, अपने नोड से दूर की ओर है, इसलिए Iₛ उस नोड से धारा बाहर खींचता है: उसका पद ऋण चिह्न के साथ आता है।

R₁ ∥ R₃ = 1.875 Ω, इसलिए बायाँ पथ R₂+1.875 = 4.875 Ω

R_eq = R₄ ∥ 4.875 = 4.194 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·4.194 = −8.387 V

V_A = V_B·1.875/4.875 = −3.226 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (−3.226 − −8.387)/3 = 1.72 A

स्थिति 3 · केवल V₂

V₁ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। R₁ ∥ R₃, A से जुड़ा है और R₂ के साथ श्रेणी में B तक लौटता है।

R₁ ∥ R₃ = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−12)·4.875/34.88 = −1.677 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −1.677·1.875/4.875 = −0.6452 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (−0.6452 − −1.677)/3 = 0.3441 A

धारा योगदान जोड़ें

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴ = 0.05376 + 1.72 + 0.3441 = 2.118 A

प्रतिरोधक में शक्ति

P_R2 = I_R2²·R₂ = 2.118²·3 = 13.46 W

उत्तर

P_R2 = 13.46 W

अलग-अलग स्थितियों की शक्तियाँ जोड़ने से 9.243 W आता, जो गलत है।

9.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: R_th = 7.2 Ω

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 3·2/(3+2) = 1.2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.2 + 6 = 7.2 Ω

10.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: I_L = −0.4808 A

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.429 + 25 = 28.43 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5.143 + (−1)·3.429 = 1.714 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1.714 + (−1)·25 = −23.29 V

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −23.29/(28.43 + 20) = −0.4808 A

11.ऑप-एम्प परिपथ

उत्तर: V_out = 7.41 V

आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।

इनवर्टिंग इनपुट इनपुट का अनुसरण करता है

V₋ = V₊ = 1.3 V

I = V₋/R₁ = 1.3/10 = 0.13 mA

आउटपुट वोल्टता

R₁ की धारा R_f से भी बहती है।

V_out = V₋ + I·R_f = 1.3 + 0.13·47 = 7.41 V

उत्तर

V_out = 7.41 V

12.ऑप-एम्प परिपथ

उत्तर: V_out = 6.11 V

इनपुट धाराएँ

V₋ = 0, इसलिए हर इनपुट प्रतिरोधक पर उसकी पूरी इनपुट वोल्टता है।

I₁ = V₁/R₁ = 1.2/10 = 0.12 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.5/2 = −0.25 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.13 mA

आउटपुट वोल्टता

V_out = −R_f·I_f = −47·(−0.13) = 6.11 V

उत्तर

V_out = 6.11 V

13.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_L = 3.131 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0.3191 A

प्रेरक वोल्टता

t = 0 पर पूरी आपूर्ति वोल्टता प्रेरक पर होती है; फिर वह शून्य तक घटती है।

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/3.191 = 3.131 V

उत्तर

v_L = 3.131 V

14.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 0.9901 ms

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले बंद स्विच R₂ को बायपास करता है; बाद में R₁ और R₂ दोनों लूप में हैं।

i(0) = 9/20 = 0.45 A

i(∞) = 9/(20 + 15) = 0.2571 A

τ = L/R = 68/35 = 1.943 ms

i(t) = 0.2571 + (0.45 − 0.2571)·e^−t/τ

समय के लिए हल करें

e^−t/τ = (0.373 − 0.2571)/(0.45 − 0.2571) = 0.6007

t = 1.943·ln(1.665) = 0.9901 ms

उत्तर

t = 0.9901 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

परिपथ विश्लेषण 1: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

विधि

नोडल विश्लेषण

विधि

मेश विश्लेषण

विधि

अध्यारोपण

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

ऑप-एम्प परिपथ

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

R₂ से होकर धारा

उत्तर

नोड A पर KCL

VA के लिए हल करें

शाखा धारा

उत्तर

नोड तय करें

नोड A पर KCL

नोड B पर KCL

हल करें

उत्तर

मेश धाराएँ निर्धारित करें

मेश 1 के चारों ओर KVL

मेश 2 के चारों ओर KVL

हल करें

उत्तर

मेश धाराएँ निर्धारित करें

मेश 1 के चारों ओर KVL

मेश 2 के चारों ओर KVL

मेश 3 के चारों ओर KVL

हल करें

उत्तर

स्थिति 1 · केवल V1

स्थिति 2 · केवल Is

धारा योगदान जोड़ें

प्रतिरोधक में शक्ति

उत्तर

स्थिति 1 · केवल V1

स्थिति 2 · केवल Is

स्थिति 3 · केवल V2

धारा योगदान जोड़ें

प्रतिरोधक में शक्ति

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

इनवर्टिंग इनपुट इनपुट का अनुसरण करता है

आउटपुट वोल्टता

उत्तर

इनपुट धाराएँ

आउटपुट वोल्टता

उत्तर

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

प्रेरक वोल्टता

उत्तर

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

समय के लिए हल करें

उत्तर

V_A के लिए हल करें

स्थिति 1 · केवल V₁

स्थिति 2 · केवल I_s

स्थिति 1 · केवल V₁

स्थिति 2 · केवल I_s

स्थिति 3 · केवल V₂

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें