परिपथ विश्लेषण 1: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध
Req = R1 + R2 + …
समांतर में प्रतिरोध
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
दो समांतर में
Req = R1R2 / (R1 + R2)
ओम का नियम
V = I·R
शक्ति
P = V·I = I²R = V²/R

विधि

  1. नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
  2. श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
  3. हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
  4. तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का धारा नियम
ΣIin = ΣIout
शाखा धारा
I = (Va − Vb)/R
संदर्भ नोड
Vground = 0

विधि

  1. एक संदर्भ नोड (भू) चुनें और बाकी नोड वोल्टताओं को नाम दें।
  2. हर अज्ञात नोड पर किरखॉफ़ का धारा नियम लिखें: हर शाखा से निकलने वाली धाराएँ प्रवेश करने वाली धाराओं के बराबर होती हैं।
  3. हर शाखा धारा को (Va − Vb)/R के रूप में व्यक्त करें।
  4. समीकरण निकाय हल करें, फिर आवश्यक कोई भी धारा ज्ञात करें।

मेश विश्लेषण

किरचॉफ का वोल्टता नियम
हर लूप के चारों ओर ΣV = 0
साझा प्रतिरोध
धारा = I1 − I2
मेश में धारा स्रोत
उस मेश की धारा तय करता है

विधि

  1. परिपथ के हर मेश (खिड़की) में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ।
  2. हर मेश के चारों ओर किरखॉफ़ का वोल्टता नियम लगाएँ: वोल्टता पातों का योग शून्य है।
  3. दो मेशों के साझा प्रतिरोधक में धारा दोनों मेश धाराओं का अंतर होती है।
  4. समीकरण हल करें; ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि धारा उलटी दिशा में बहती है।

अध्यारोपण

अध्यारोपण
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
बंद वोल्टता स्रोत
शॉर्ट सर्किट (0 V)
बंद धारा स्रोत
खुला परिपथ (0 A)
वोल्टता विभाजक
V2 = V·R2/(R1 + R2)
धारा विभाजक
I1 = I·R2/(R1 + R2)

विधि

  1. स्वतंत्र स्रोत गिनें। आप हर स्रोत के लिए एक सरल परिपथ हल करेंगे।
  2. एक स्रोत रखें और बाकी बंद कर दें: वोल्टता स्रोत लघु परिपथ (एक तार) बन जाता है, धारा स्रोत खुला परिपथ (एक अंतराल) बन जाता है।
  3. सरल परिपथ में आवश्यक वोल्टता या धारा ज्ञात करें, उसकी दिशा का ध्यान रखते हुए।
  4. हर स्रोत के लिए दोहराएँ, फिर योगदानों को उनके चिह्नों सहित जोड़ें।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता
Vth = Vopen circuit
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा
IN = Vth/Rth
लोड धारा
IL = Vth/(Rth + RL)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

विधि

  1. भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
  2. a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही Vth है।
  3. सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही Rth है।
  4. लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: Vth, Rth के साथ श्रेणी में।
  5. नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: IN = Vth/Rth, और RN = Rth समांतर में।

ऑप-एम्प परिपथ

इनवर्टिंग प्रवर्धक
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
नॉन-इनवर्टिंग प्रवर्धक
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
योगकारी प्रवर्धक
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
आदर्श ऑप-एम्प
V+ = V−, Iin = 0

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक
τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
DC पर संधारित्र
खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक
शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था
t ≈ 5τ

विधि

  1. स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
  2. स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
  3. समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।

2अभ्यास प्रश्न

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩIR2​AR4​5 ΩB

R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
R1​ = 15 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​2 Ω

R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 ΩR5 = 15 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
3.नोडल विश्लेषणमध्यम
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBIs​1 A

नोडल विश्लेषण से धारा स्रोत Is द्वारा दी गई शक्ति PIs ज्ञात कीजिए।

V1 = 24 VIs = 1 AR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
PIs = W
4.नोडल विश्लेषणकठिन
R1​ = 8 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​8 ΩAR5​15 ΩBIs​1.5 A−+V2​6 V

नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता VB (ग्राउंड के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए।

V1 = 6 VIs = 1.5 AV2 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 Ω
VB = V
5.मेश विश्लेषणमध्यम
R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩIR2​+−V1​9 VR3​6 ΩA+−V2​6 VI1​I2​

मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।

V1 = 9 VV2 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 Ω
IR2 = A
6.मेश विश्लेषणकठिन
R1​ = 6 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR4​2 ΩAR5​30 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

मेश विश्लेषण से मेश धारा I2 (दक्षिणावर्त) ज्ञात कीजिए।

V1 = 24 VV2 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 ΩR5 = 30 Ω
I2 = A
7.अध्यारोपणमध्यम
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩIR2​AR4​3 ΩBIs​1 A

अध्यारोपण से तीर की दिशा में R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।

V1 = 12 VIs = 1 AR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
8.अध्यारोपणकठिन
R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩIR2​R4​ = 3 Ω+−V1​6 VR3​5 ΩAIs​5 AB+−V2​36 V

अध्यारोपण से R2 द्वारा अवशोषित शक्ति PR2 ज्ञात कीजिए।

V1 = 6 VIs = 5 AV2 = 36 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
PR2 = W
9.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩARL​5 ΩIL​B

a–b के बीच भार RL = 5 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा IL ज्ञात कीजिए।

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩRL = 5 Ω
IL = A
10.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन
R1​ = 3 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​3 ABab

नॉर्टन धारा IN ज्ञात कीजिए: टर्मिनल शॉर्ट करने पर a से b की ओर बहने वाली धारा।

V1 = 15 VIs = 3 AR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
11.ऑप-एम्प परिपथमध्यम
−+Vout​R2​ = 100 kΩV1​ = 1.5 VR1​ = 22 kΩV2​ = 1.1 VR3​ = 22 kΩR4​ = 100 kΩ

अंतर एम्पलीफ़ायर ±15 V आपूर्ति वाले एक आदर्श ऑप-एम्प का उपयोग करता है, जहाँ R3 = R1 और R4 = R2। आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।

V1 = 1.5 VV2 = 1.1 VR1 = R3 = 22 kΩR2 = R4 = 100 kΩ
Vout = V
12.ऑप-एम्प परिपथकठिन
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 1.8 VR1​ = 2 kΩV2​ = −0.9 VR2​ = 100 kΩ

योजक एम्पलीफ़ायर ±15 V आपूर्ति वाले आदर्श ऑप-एम्प का उपयोग करता है। आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।

V1 = 1.8 VV2 = −0.9 VR1 = 2 kΩR2 = 100 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
13.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
R = 47 Ωt = 0L33 mHi(t)

प्रेरक 1 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

i(0) = 1 AR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
14.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
+−Vs​6 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 18 V है। vC को 14.4 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

Vs = 6 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 V
t = ms

3विलयन

1.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: IR2 = 1.061 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​5 ΩB

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 12·7/(12+7) = 4.421 Ω
Req = R1 + 4.421 = 6 + 4.421 = 10.42 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

IR1 = V1/Req = 30/10.42 = 2.879 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2.879·6 = 12.73 V
IR2 = VA/R2 = 12.73/12 = 1.061 A

उत्तर

IR2 = 1.061 A
2.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: IR2 = 0.2185 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R5 + R6 = 15 + 2 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 7.034 Ω
R3 + 7.034 = 12.03 Ω
R2 ∥ 12.03 = 8.589 Ω
Req = R1 + 8.589 = 15 + 8.589 = 23.59 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

IR1 = V1/Req = 18/23.59 = 0.7631 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.7631·15 = 6.554 V
IR2 = VA/R2 = 6.554/30 = 0.2185 A

उत्तर

IR2 = 0.2185 A
3.नोडल विश्लेषण

उत्तर: PIs = 2.495 W

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 24)/10 + (VA − VB)/10 = 0
0.5333·VA − 0.1·VB = 2.4

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/10 = 1
−0.1·VA + 0.6·VB = 1

हल करें

Δ = (0.5333)(0.6) − (−0.1)(−0.1) = 0.31
VA = Δ1/Δ = 1.54/0.31 = 4.968 V
VB = Δ2/Δ = 0.7733/0.31 = 2.495 V

धारा स्रोत द्वारा दी गई शक्ति

स्रोत Iₛ को ग्राउंड (0 V) से VB तक ऊपर नोड B में धकेलता है। जिस स्रोत की धारा उसके + सिरे से निकलती है वह P = V·I देता है।

PIs = VB·Is = 2.495·1 = 2.495 W

उत्तर

PIs = 2.495 W
4.नोडल विश्लेषण

उत्तर: VB = 6.517 V

नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।

R1​ = 8 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​8 ΩAR5​15 ΩBIs​1.5 A−+V2​6 V

नोड तय करें

ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V1 = 6 V, V2 = −6 V)। अज्ञात: VA, VB।

नोड A पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 6)/8 + (VA − VB)/4 = 0
0.5·VA − 0.25·VB = 0.75

नोड B पर KCL

प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/4 + (VB − (−6))/20 = 1.5
−0.25·VA + 0.3667·VB = 1.2

हल करें

Δ = (0.5)(0.3667) − (−0.25)(−0.25) = 0.1208
VA = Δ1/Δ = 0.575/0.1208 = 4.759 V
VB = Δ2/Δ = 0.7875/0.1208 = 6.517 V

उत्तर

VB = 6.517 V
5.मेश विश्लेषण

उत्तर: IR2 = −0.1875 A

मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।

R1​ = 8 ΩR2​ = 8 Ω+−V1​9 VR3​6 ΩA+−V2​6 VI1​I2​

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 6(I1 − I2) = 9
14·I1 − 6·I2 = 9

मेश 2 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
8·I2 + 6(I2 − I1) = (−6)
−6·I1 + 14·I2 = −6

हल करें

Δ = (14)(14) − (−6)(−6) = 160
I1 = Δ1/Δ = 90/160 = 0.5625 A
I2 = Δ2/Δ = −30/160 = −0.1875 A

उत्तर

IR2 = I2 = −0.1875 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

6.मेश विश्लेषण

उत्तर: I2 = −0.7059 A

मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।

R1​ = 6 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR4​2 ΩAR5​30 ΩB+−V2​24 VI1​I2​I3​

मेश धाराएँ निर्धारित करें

हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2, I3। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।

मेश 1 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
6·I1 + 2(I1 − I2) = 24
8·I1 − 2·I2 = 24

मेश 2 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 2(I2 − I1) + 30(I2 − I3) = 0
−2·I1 + 52·I2 − 30·I3 = 0

मेश 3 के चारों ओर KVL

दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
2·I3 + 30(I3 − I2) = (−24)
−30·I2 + 32·I3 = −24

हल करें

Δ = गुणांक आव्यूह का सारणिक = 5984
I1 = Δ1/Δ = 16896/5984 = 2.824 A
I2 = Δ2/Δ = −4224/5984 = −0.7059 A
I3 = Δ3/Δ = −8448/5984 = −1.412 A

उत्तर

I2 = −0.7059 A

ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।

7.अध्यारोपण

उत्तर: IR2 = −0.8087 A

अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​3 ΩBखुला

स्थिति 1 · केवल V1

Iₛ खुला परिपथ बन जाता है, इसलिए R₃ और R₄ A से ग्राउंड तक एक श्रेणी शाखा बनाते हैं, जो R₂ के समांतर है।

R3+R4 = 6+3 = 9 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 5·9/(5+9) = 3.214 Ω
VA = 12·3.214/(5+3.214) = 4.696 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 4.696·3/9 = 1.565 V
IR2′ = (0 − VA)/R2 = (0 − 4.696)/5 = −0.9391 A
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ωशॉर्टR2​5 ΩAR4​3 ΩBIs​1 A

स्थिति 2 · केवल Is

V₁ शॉर्ट बन जाता है, इसलिए R₁, R₂ के समांतर है। Iₛ, B पर R₄ और R₃ वाले पथ के बीच बँटता है।

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 8.5 = 2.217 Ω
VB = Is·Req = (−1)·2.217 = −2.217 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −2.217·2.5/8.5 = −0.6522 V
IR2″ = (0 − VA)/R2 = (0 − −0.6522)/5 = 0.1304 A

योगदान जोड़ें

IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = (−0.9391) + 0.1304 = −0.8087 A

ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तव में धारा तीर के विपरीत बहती है।

8.अध्यारोपण

उत्तर: PR2 = 68.48 W

अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।

R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​6 VR3​5 ΩAखुलाBशॉर्ट

स्थिति 1 · केवल V1

V₂ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। A से देखने पर R₃, श्रेणी युग्म R₂+R₄ के समांतर है।

R3 ∥ (R2+R4) = 5 ∥ 23 = 4.107 Ω
VA = 6·4.107/(15+4.107) = 1.29 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 1.29·3/23 = 0.1682 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (1.29 − 0.1682)/20 = 0.05607 A
R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 3 Ωशॉर्टR3​5 ΩAIs​5 ABशॉर्ट

स्थिति 2 · केवल Is

दोनों वोल्टता स्रोत शॉर्ट बन जाते हैं। Iₛ, B पर R₄ (अब ग्राउंड तक) और R₁ ∥ R₃ के साथ श्रेणी में R₂ के बीच बँटता है।

R1 ∥ R3 = 3.75 Ω, इसलिए बायाँ पथ R2+3.75 = 23.75 Ω
Req = R4 ∥ 23.75 = 2.664 Ω
VB = Is·Req = 5·2.664 = 13.32 V
VA = VB·3.75/23.75 = 2.103 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (2.103 − 13.32)/20 = −0.5607 A
R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 3 Ωशॉर्टR3​5 ΩAखुलाB+−V2​36 V

स्थिति 3 · केवल V2

V₁ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। R₁ ∥ R₃, A से जुड़ा है और R₂ के साथ श्रेणी में B तक लौटता है।

R1 ∥ R3 = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 36·23.75/26.75 = 31.96 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 31.96·3.75/23.75 = 5.047 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (5.047 − 31.96)/20 = −1.346 A

धारा योगदान जोड़ें

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴ = 0.05607 + (−0.5607) + (−1.346) = −1.85 A

प्रतिरोधक में शक्ति

शक्ति धारा के वर्ग पर निर्भर करती है, इसलिए वह अध्यारोपण का पालन नहीं करती: पहले धाराएँ जोड़ें, फिर वर्ग करें।

PR2 = IR2²·R2 = (−1.85)²·20 = 68.48 W

उत्तर

PR2 = 68.48 W

अलग-अलग स्थितियों की शक्तियाँ जोड़ने से 42.57 W आता, जो गलत है।

9.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: IL = 2.195 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ωशॉर्टR2​3 ΩAabRth​

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 2 = 3.2 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab+−Vth​

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·3/(2+3) = 18 V
Rth​ = 3.2 Ω+−Vth​18 VRL​5 ΩIL​

भार को थेवेनिन समतुल्य से जोड़ें

थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।

IL = Vth/(Rth + RL) = 18/(3.2 + 5) = 2.195 A
10.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: IN = 3.313 A

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।

R1​ = 3 ΩR3​ = 30 Ωशॉर्टR2​6 ΩAखुलाBabRth​

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 30 = 32 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 3·2 = 16 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16 + 3·30 = 106 V
IN​3.313 ARth​32 Ωab

नॉर्टन समतुल्य

नॉर्टन स्रोत वही परिपथ है जिसे R_th के समांतर एक धारा स्रोत के रूप में देखा जाता है। इसकी धारा a–b पर शॉर्ट-सर्किट धारा है।

IN = Vth/Rth = 106/32 = 3.313 A
11.ऑप-एम्प परिपथ

उत्तर: Vout = −1.818 V

आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।

इनपुटों पर वोल्टता

R₃ और R₄ समान धारा वहन करते हैं, इसलिए वे वोल्टता विभाजक बनाते हैं; पुनर्निवेश V₋ = V₊ बनाता है।

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.1·100/(22 + 100) = 0.9016 V
V₋ = V₊

इनवर्टिंग इनपुट पर KCL

(1.5 − 0.9016)/22 = (0.9016 − Vout)/100
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (100/22)·(1.1 − 1.5) = −1.818 V

उत्तर

Vout = −1.818 V
12.ऑप-एम्प परिपथ

उत्तर: Vout = −0.891 V

आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।

इनपुट धाराएँ

V₋ = 0, इसलिए हर इनपुट प्रतिरोधक पर उसकी पूरी इनपुट वोल्टता है।

I1 = V1/R1 = 1.8/2 = 0.9 mA
I2 = V2/R2 = −0.9/100 = −0.009 mA
If = I1 + I2 = 0.891 mA

आउटपुट वोल्टता

Vout = −Rf·If = −1·0.891 = −0.891 V

उत्तर

Vout = −0.891 V
13.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.2407 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms

धारा का क्षय

i(t) = 1·e−1/0.7021 = 0.2407 A

उत्तर

i = 0.2407 A
14.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 784.7 ms

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

समय के लिए हल करें

14.4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (14.4 − 6)/(18 − 6) = 0.7
t = τ·ln((18 − 6)/(14.4 − 6)) = 2200·ln(1.429) = 784.7 ms

उत्तर

t = 784.7 ms

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