कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
दो के पूरक में स्थानीय मान0−12806413211618141201

8-बिट पैटर्न 0011 1110 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

0011 11108 bit
N =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
10-बिट 2 का पूरक, N = ??चिह्न?????????

10-बिट दो के पूरक में संग्रहीत की जा सकने वाली सबसे छोटी (सबसे ऋणात्मक) पूर्णांक N क्या है?

10 bit
N =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
(b → a) ∧ (c → a)b → (c → a)b ∧ (c → a)(b → c) → a

कौन-सा सूत्र (b ∧ c) → a के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

(b ∧ c) → a
  1. 1(b → a) ∧ (c → a)
  2. 2b → (c → a)
  3. 3b ∧ (c → a)
  4. 4(b → c) → a
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
abcb → ca → cb → a111110101100011010001000

आधार-वाक्य b → c; a → c और निष्कर्ष b → a वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

b → ca → c∴ b → a
  1. 1a = 1, b = 1, c = 1
  2. 2a = 1, b = 1, c = 0
  3. 3a = 1, b = 0, c = 1
  4. 4a = 1, b = 0, c = 0
  5. 5a = 0, b = 1, c = 1
  6. 6a = 0, b = 1, c = 0
  7. 7a = 0, b = 0, c = 1
  8. 8a = 0, b = 0, c = 0
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABCD000111100001111000010302140507160121131150140819011010

F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 9, 13, 15) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कुल कितने लिटरल L हैं (प्राइम वाला चर एक लिटरल गिना जाता है)?

F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 9, 13, 15)
L =
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​CLKMOD-6

एक तुल्यकालिक mod-6 काउंटर 0, 1, …, 5 गिनता है और फिर 0 पर लौटता है। यह 1 से शुरू होता है। 13 क्लॉक पल्स के बाद वह कौन-सी गिनती Q (दशमलव में) दिखाएगा?

Q0 = 113N = 6
Q =
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

19 के मापांक में 8 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 19 और 8·x ≡ 1 (mod 19)।

a = 8n = 19
8−1 mod 19 =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1591, 5)d = ?

एक RSA कुंजी अभाज्य p = 37 और q = 43 तथा सार्वजनिक घातांक e = 5 का उपयोग करती है। निजी घातांक d ज्ञात करें (0 < d < φ(n))।

p = 37q = 43e = 5
d =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

भर जाने पर अपनी क्षमता दोगुनी करने वाले डायनेमिक ऐरे में तत्व जोड़ने (append) की एमॉर्टाइज़्ड (amortised) टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

स्ट्रासेन का एल्गोरिदम आधे आकार के ब्लॉकों के 8 के बजाय 7 रिकर्सिव गुणनों से मैट्रिक्स गुणा करता है। इसका रनिंग टाइम क्या है?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7), लगभग n2.81
  4. DΘ(n² log n)
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
12.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस इंडेक्स के लिए प्रायः साधारण B-ट्री के बजाय B+ ट्री का उपयोग क्यों करते हैं?

  1. AB+ ट्री आंतरिक नोडों के रूप में बाइनरी नोड उपयोग करते हैं, जिससे डिस्क रीड घटते हैं
  2. BB+ ट्री को संतुलित होने की आवश्यकता नहीं है
  3. Cसभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
  4. DB+ ट्री डेटा केवल रूट में संग्रहीत करते हैं
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
121713197161ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक employees टेबल में manager_id कॉलम है जो किसी अन्य कर्मचारी को संदर्भित करता है। हर कर्मचारी को उसके मैनेजर के नाम के साथ कैसे सूचीबद्ध करते हैं?

  1. Aडिस्क पर टेबल की दूसरी प्रति बनाकर
  2. Bदो उपनामों का उपयोग करके employees टेबल को स्वयं से जोड़कर
  3. CUNION ALL और WHERE फ़िल्टर का उपयोग करके टेबल को स्वयं से मिलाकर
  4. Dकेवल GROUP BY manager_id का उपयोग करके
16.डेटाबेस और SQLकठिन

अंक 90, 90 और 80 हैं। RANK() OVER (ORDER BY score DESC) कौन-से मान देता है?

  1. A2, 2, 3
  2. B1, 1, 2
  3. C1, 2, 3
  4. D1, 1, 3
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा होस्ट 10.1.2.3 के समान /16 सबनेट में है?

  1. A11.1.2.3
  2. B10.1.200.5
  3. C10.2.2.3
  4. D10.0.2.3
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

DNS क्वेरी सामान्यतः UDP का उपयोग करती हैं। DNS आमतौर पर इसके बजाय TCP का उपयोग कब करता है?

  1. Aवेब ब्राउज़र से भेजी गई हर क्वेरी के लिए
  2. Bकेवल IP पतों के रिवर्स लुकअप के लिए
  3. Cकेवल जब डोमेन नाम दस अक्षरों से लंबा हो
  4. DUDP के लिए बहुत बड़ी प्रतिक्रियाओं और ज़ोन ट्रांसफ़र के लिए
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/22 → /2811111111111111111111111111110000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

नेटवर्क 10.159.0.0/22 को उपसर्ग /28 वाले समान सबनेट में बाँटा गया है। कितने सबनेट N हैं?

10.159.0.0/22/28
N =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.137.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 28 होस्ट, B: 3 होस्ट, C: 9 होस्ट, D: 20 होस्ट, E: 6 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN E के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 28B: 3C: 9D: 20E: 6
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = 62

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62

उत्तर

N = 62
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −512

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

सबसे ऋणात्मक मान

−29 = −512

उत्तर

N = −512
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: b → (c → a)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

निर्यात: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)। दोनों केवल तब 0 होते हैं जब a = 1, b = 1 और c = 0।
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)

सत्यमान सारणी से जाँच

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0

उत्तर

b → (c → a)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: a = 0, b = 1, c = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 0 0 | 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 1
a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 0
a = 0, b = 1, c = 0: 0 1 | 0
a = 0, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

प्रति-उदाहरण

a = 0, b = 1, c = 1

उत्तर

a = 0, b = 1, c = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 9

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

ABCD000111100001111000010302140507160121131150140819011010

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

AC′D
A′BD′
ABD

न्यूनतम SOP रूप

F = AC′D + A′BD′ + ABD
L = 9

उत्तर

L = 9
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 2

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

पूरे चक्र

हर 6 पल्स काउंटर को उसी अवस्था में वापस ले आते हैं।

13 = 2·6 + 1

शेष पल्स के बाद गिनती

Q = (1 + 1) mod 6 = 2
Q = 010₂

उत्तर

Q = 2
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 8−1 mod 19 = 12

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·8 (mod 19) के रूप में लिखा जाता है।

r = 19, t = 0
r = 8, q = 2, t = 1
r = 3, q = 2, t = −2
r = 2, q = 1, t = 5
r = 1, q = 2, t = −7

व्युत्क्रम

1 ≡ −7·8 (mod 19)
x = 12
जाँच: 8·12 = 96 = 5·19 + 1

उत्तर

8−1 mod 19 = 12
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: d = 605

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

मापांक और टोशेंट

n = 37·43 = 1591
φ(n) = 36·42 = 1512

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

r = 1512, t = 0
r = 5, q = 302, t = 1
r = 2, q = 2, t = −302
r = 1, q = 2, t = 605

निजी घातांक

d = 605
जाँच: 5·605 = 3025 = 2·1512 + 1

उत्तर

d = 605
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(1)

यह उत्तर क्यों है

सभी तत्वों की कॉपी केवल दो की घातों पर होती है; सभी appends पर फैलाने से प्रति append औसत लागत स्थिर रहती है।

उत्तर

A · O(1)
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(nlog₂ 7), लगभग n2.81

यह उत्तर क्यों है

a = 7 और b = 2 के साथ nlog₂ 7, O(n²) जोड़ कार्य पर प्रभावी होता है, जिससे लगभग n2.81 मिलता है।

उत्तर

C · Θ(nlog₂ 7), लगभग n2.81
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

पंक्ति u, स्तंभ v की मैट्रिक्स प्रविष्टि तुरंत बताती है कि किनारा मौजूद है या नहीं; एडजेसेंसी लिस्ट में u के पड़ोसियों को स्कैन करना पड़ सकता है।

उत्तर

D · O(1)
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

B+ ट्री में आंतरिक नोड केवल खोज का मार्गदर्शन करते हैं और लीफ़ कुंजी क्रम में जुड़े होते हैं, इसलिए रेंज प्रश्न पहली कुंजी खोजकर फिर लीफ़ के साथ चलता है।

उत्तर

C · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 36

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BE (1): लें
CE (7): लें
AB (12): लें
BC (13): छोड़ें, चक्र बनता है
DE (16): लें

कुल भार

W = 1 + 7 + 12 + 16 = 36

उत्तर

W = 36
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: B · दो उपनामों का उपयोग करके employees टेबल को स्वयं से जोड़कर

यह उत्तर क्यों है

FROM employees e JOIN employees m ON e.manager_id = m.id जैसा सेल्फ़-जॉइन एक उपनाम को कर्मचारी और दूसरे को मैनेजर बनने देता है।

उत्तर

B · दो उपनामों का उपयोग करके employees टेबल को स्वयं से जोड़कर
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: D · 1, 1, 3

यह उत्तर क्यों है

RANK बराबर पंक्तियों को समान रैंक देता है और बाद की संख्याएँ छोड़ देता है (1, 1, 3); DENSE_RANK 1, 1, 2 देता।

उत्तर

D · 1, 1, 3
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: B · 10.1.200.5

यह उत्तर क्यों है

/16 के साथ पहले 16 बिट (10.1) नेटवर्क भाग हैं। केवल 10.1.200.5 उन्हें साझा करता है, इसलिए यह 10.1.0.0/16 पर है।

उत्तर

B · 10.1.200.5
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · UDP के लिए बहुत बड़ी प्रतिक्रियाओं और ज़ोन ट्रांसफ़र के लिए

यह उत्तर क्यों है

यदि UDP प्रतिक्रिया कट जाती है, तो resolver TCP पर पुनः प्रयास करता है। नेम सर्वरों के बीच ज़ोन ट्रांसफ़र भी TCP का उपयोग करते हैं क्योंकि उनमें बहुत डेटा होता है।

उत्तर

D · UDP के लिए बहुत बड़ी प्रतिक्रियाओं और ज़ोन ट्रांसफ़र के लिए
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उधार लिए गए बिट

28 − 22 = 6

सबनेटों की संख्या

N = 26 = 64

उत्तर

N = 64

हर /28 सबनेट में 24 − 2 = 14 उपयोगी होस्ट हैं।

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 80

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

A: 28 होस्ट → 25 = 32 (/27)
D: 20 होस्ट → 25 = 32 (/27)
C: 9 होस्ट → 24 = 16 (/28)
E: 6 होस्ट → 23 = 8 (/29)
B: 3 होस्ट → 23 = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

A: .0 – .31
D: .32 – .63
C: .64 – .79
E: .80 – .87
B: .88 – .95

उत्तर

x = 80

LAN E: 192.168.137.80/29।

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