कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −28 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −288 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0010 1001 AND 1000 1100 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0010 1001AND1000 1100

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

आप c → (a ∧ b) को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। शुरू में कौन-सा कथन मानेंगे? उस पर क्लिक करें।

c → (a ∧ b)

1c ∧ ¬(a ∧ b)
2¬c ∧ (a ∧ b)
3¬c ∧ ¬(a ∧ b)
4¬c → ¬(a ∧ b)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य (q ∧ r) → p; q; ¬p दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

(q ∧ r) → pq¬p

1r ∧ ¬p
2r
3p
4¬r

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = 1, I₁ = C′, I₂ = C, I₃ = C से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = 1I₁ = C′I₂ = CI₃ = C

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(7, 10, 11, 13, 14) + d(2, 5, 15) के लिए, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है, अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्यों (एसेंशियल प्राइम इम्प्लिकेंट) की संख्या N ज्ञात करें।

F(A, B, C, D) = Σm(7, 10, 11, 13, 14) + d(2, 5, 15)

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात करें जिसके लिए x ≡ 6 (mod 7) और x ≡ 7 (mod 11)।

x ≡ 6 (mod 7)x ≡ 7 (mod 11)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

{0, 1, …, 47} में 44x ≡ 32 (mod 48) के कितने हल N हैं?

44x ≡ 32 (mod 48)

N =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सरल रिकर्सिव फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन fact(n) = n × fact(n − 1) कितना स्टैक स्पेस उपयोग करता है?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(1)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सी तकनीक किसी भी इनपुट पर क्विकसॉर्ट को अपेक्षित (expected) O(n log n) रनिंग टाइम देती है?

Aकेवल बाईं ओर रिकर्शन का उपयोग करना
Bक्विकसॉर्ट चलाने से पहले इनपुट को सॉर्ट करना
Cहमेशा पहला तत्व चुनना
Dपिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

AO(1)
BO(E)
CO(V)
DO(log V)

12.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस इंडेक्स के लिए प्रायः साधारण B-ट्री के बजाय B+ ट्री का उपयोग क्यों करते हैं?

AB+ ट्री डेटा केवल रूट में संग्रहीत करते हैं
Bसभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
CB+ ट्री को संतुलित होने की आवश्यकता नहीं है
DB+ ट्री आंतरिक नोडों के रूप में बाइनरी नोड उपयोग करते हैं, जिससे डिस्क रीड घटते हैं

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₇ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₇

H =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 3 की कितनी बंद वॉक E से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3

N =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

तृतीय नॉर्मल फ़ॉर्म (3NF) क्या हटाता है?

Aनॉन-की एट्रिब्यूट्स के बीच सकर्मक (transitive) निर्भरताएँ
Bकंपोज़िट की
Cपरमाणु मान
Dउन कॉलमों पर बने अनावश्यक इंडेक्स जो किसी की का भाग नहीं हैं

16.डेटाबेस और SQLकठिन

यदि col के सभी मान NULL हैं और टेबल में 10 पंक्तियाँ हैं, तो SELECT COUNT(col) FROM t का परिणाम क्या है?

A10
Bएक त्रुटि
CNULL
D0

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

Wi-Fi टकराव पता लगाने (collision detection) के बजाय टकराव से बचाव (CSMA/CA) का उपयोग क्यों करता है?

Aटकराव पता लगाना केवल फ़ाइबर केबलों पर काम करता है, साझा वायरलेस रेडियो चैनलों पर नहीं
Bवायरलेस स्टेशन प्रेषण करते समय टकरावों का विश्वसनीय रूप से पता नहीं लगा सकता
Cरेडियो संकेत कभी नहीं टकराते
DWi-Fi प्रति नेटवर्क केवल एक उपकरण की अनुमति देता है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

अतिरिक्त (redundant) स्विच लिंक वाले नेटवर्क में ब्रॉडकास्ट लूप को कौन-सी प्रणाली रोकती है?

ADHCP snooping
BSpanning Tree Protocol
CARP caching
DNAT

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.127.0/24 को /29 सबनेटों में बाँटा गया है, जिन्हें सबसे निचले पते से 1, 2, 3, … क्रमांकित किया गया है (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)। सबनेट 6 के ब्रॉडकास्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

192.168.127.0/24/29सबनेट 6 (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)

x =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.115.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 5 होस्ट, B: 26 होस्ट, C: 98 होस्ट, D: 21 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN D के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 5B: 26C: 98D: 21

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 228

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

28 = 0001 1100

उलटा हुआ: 1110 0011

+1 → 1110 0100

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1110 0100₂ = 256 − 28 = 228

उत्तर

U = 228

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 8

बिट-दर-बिट

AND केवल वहीं 1 देता है जहाँ दोनों बिट 1 हों।

0010 1001

AND 1000 1100

= 0000 1000

परिणाम का मान

0000 1000₂ = 8

उत्तर

R = 8

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: c ∧ ¬(a ∧ b)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = c, b = a ∧ b

निहितार्थ का निषेध

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = c ∧ ¬(a ∧ b)

उत्तर

c ∧ ¬(a ∧ b)

यदि मान्यता विरोधाभास की ओर ले जाए, तो निहितार्थ सत्य होना चाहिए।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬r

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

p = 0, q = 1, r = 0: r ∧ ¬p = 0, r = 0, p = 0, ¬r = 1

निष्कर्ष

¬r (संयोजन के साथ मोडस टोलेंस)

उत्तर

¬r

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′B′ + A′BC′ + AB′C + ABC

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 000, 001, 010, 101, 111

N = 5

उत्तर

N = 5

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 2

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

BD, B′CD′, AC

अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्य

BD, AC

N = 2

उत्तर

N = 2

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 62

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

पहली सर्वांगसमता

x = 6 + 7k

दूसरी सर्वांगसमता

6 + 7k ≡ 7 (mod 11) → 7k ≡ 1 (mod 11)

k ≡ 8·1 ≡ 8 (mod 11)

परिणाम

x = 6 + 7·8 = 62

x = 62

जाँच: 62 mod 7 = 6, 62 mod 11 = 7

उत्तर

x = 62

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: N = 4

gcd से भाग दें

gcd(44, 48) = 4

11x ≡ 8 (mod 12)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

11⁻¹ ≡ 11 (mod 12) → x ≡ 4 (mod 12)

48 के मापांक में हल

x ∈ {4, 16, 28, 40}

गिनें

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

उत्तर

H = 360

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

B · Spanning Tree Protocol

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 47

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ब्लॉक आकार

2³ = 8

सबनेट संख्या 6

नेटवर्क: (6 − 1)·8 = 40

ब्रॉडकास्ट: 40 + 8 − 1 = 47

उत्तर

x = 47

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 160

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

C: 98 होस्ट → 2⁷ = 128 (/25)

B: 26 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

D: 21 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

A: 5 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

C: .0 – .127

B: .128 – .159

D: .160 – .191

A: .192 – .199

उत्तर

x = 160

LAN D: 192.168.115.160/27।

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