कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −9 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −98 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1010 1000 OR 0110 0110 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1010 1000OR0110 0110

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र b ∧ (c ∨ a) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

b ∧ (c ∨ a)

1(b ∧ c) ∨ (b ∧ a)
2(b ∨ c) ∧ (b ∨ a)
3b ∨ (c ∧ a)
4(b ∧ c) ∨ a

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∀x A(x) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∀x A(x)

1∃x ¬A(x)
2∀x A(x)
3∀x ¬A(x)
4∃x A(x)

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F = AB′C + A′B′C + A′BC′ + AC′ को उसके न्यूनतम गुणनफलों के योग रूप में सरल करें। सरल किए गए व्यंजक में कितने लिटरल L हैं?

F = AB′C + A′B′C + A′BC′ + AC′

L =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक 4-बिट शिफ़्ट रजिस्टर Q₃Q₂Q₁Q₀ में 0001 है। हर क्लॉक कोर पर बिट एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ खो जाता है) और सीरियल निवेश Q₃ में प्रवेश करता है। सीरियल निवेश 4 कोरों पर 0, 1, 1, 1 है। अंतिम अवस्था Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ दशमलव संख्या में दें।

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00010, 1, 1, 1

Q =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

97 के मापांक में 90 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 97 और 90·x ≡ 1 (mod 97)।

a = 90n = 97

90⁻¹ mod 97 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

संदेश m = 307 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (1081, 13) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 1081e = 13m = 307

c =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

पहुँच योग्य बेस केस के बिना रिकर्सिव फ़ंक्शन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Aयह O(1) समय में चलता है
Bयह अपने आप 0 लौटाता है
Cयह तब तक स्वयं को कॉल करता रहता है जब तक कॉल स्टैक ओवरफ़्लो न हो जाए
Dकंपाइलर हमेशा इसे ऐसे लूप में बदल देता है जो सुरक्षित रूप से समाप्त होता है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

ANP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
BNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
Cहल करना असंभव है
Dबहुपद समय में हल की जा सकती है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

व्यवहार में ऐरे का ट्रैवर्सल प्रायः समान लंबाई की लिंक्ड लिस्ट से बहुत तेज़ क्यों होता है?

Aऐरे ट्रैवर्सल कुल मिलाकर O(1) है जबकि लिंक्ड लिस्ट ट्रैवर्सल O(n)
Bऐरे तत्व लगातार होते हैं, इसलिए वे CPU कैश का अच्छा उपयोग करते हैं
Cलिंक्ड लिस्ट हमेशा तत्व डिस्क पर संग्रहीत करती हैं
Dऐरे मानों की तुलना के लिए कम निर्देश उपयोग करते हैं

12.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी संरचना ऐरे में आकार k की हर विंडो का अधिकतम कुल O(n) में निकालने देती है?

Aखिसकाकर अपडेट किया जाने वाला सॉर्टेड ऐरे
Bविंडो के तत्वों की सिंगली लिंक्ड लिस्ट
Cमान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
Dहर विंडो के लिए फिर से बनाया गया मिन-हीप

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 11

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 3 की कितनी वॉक D से C तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3

N =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक फ़ॉरेन की ON DELETE CASCADE के साथ घोषित है। पैरेंट पंक्ति हटाने पर क्या होता है?

Aपैरेंट पंक्ति एक आर्काइव टेबल में कॉपी हो जाती है
Bहटाना हमेशा अस्वीकार हो जाता है
Cउसे संदर्भित करने वाली चाइल्ड पंक्तियाँ स्वतः हट जाती हैं
Dचाइल्ड पंक्तियों की फ़ॉरेन की अपने आप NULL हो जाती है

16.डेटाबेस और SQLकठिन

अज्ञात गहराई वाले संगठन वृक्ष में किसी मैनेजर के नीचे हर कर्मचारी को खोजने के लिए कौन-सी SQL सुविधा सबसे उपयुक्त है?

Amanager_id पर UNIQUE कंस्ट्रेंट
Bएक रिकर्सिव कॉमन टेबल एक्सप्रेशन (WITH RECURSIVE)
Cmanager_id पर GROUP BY
Demployees टेबल का manager_id पर एक अकेला सेल्फ़-जॉइन

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

TLS, HTTPS के लिए कौन-से सुरक्षा गुण प्रदान करता है?

Aदेखी जा रही साइट पर सभी मैलवेयर और फ़िशिंग से सुरक्षा
Bउपयोगकर्ता की गुमनामी
Cगोपनीयता, अखंडता और सर्वर प्रमाणीकरण
Dकेवल तेज़ लोडिंग

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

TCP/IP मॉडल में कौन-सी परत पोर्ट नंबर जोड़ती है?

Aट्रांसपोर्ट परत
Bलिंक परत
Cइंटरनेट परत
Dएप्लिकेशन परत

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक सबनेट मास्क 255.255.240.0 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.240.0

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.26.163/30 है। उसके सबनेट के ब्रॉडकास्ट पते की अंतिम संख्या (चौथा ऑक्टेट) x क्या है?

10.20.26.163/30

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 247

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

9 = 0000 1001

उलटा हुआ: 1111 0110

+1 → 1111 0111

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1111 0111₂ = 256 − 9 = 247

उत्तर

U = 247

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 238

बिट-दर-बिट

OR वहाँ 1 देता है जहाँ कम से कम एक बिट 1 हो।

1010 1000

OR 0110 0110

= 1110 1110

परिणाम का मान

1110 1110₂ = 238

उत्तर

R = 238

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (b ∧ c) ∨ (b ∧ a)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

∧, ∨ पर वितरित होता है: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)।

b ∧ (c ∨ a) ≡ (b ∧ c) ∨ (b ∧ a)

सत्यमान सारणी से जाँच

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 1

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 1 1 0

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

उत्तर

(b ∧ c) ∨ (b ∧ a)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∃x ¬A(x)

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∀x A(x) ≡ ∃x ¬A(x)

उत्तर

∃x ¬A(x)

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 6

बूलीय बीजगणित: व्यंजकों को सरल करने वाले नियम हैं X + X′ = 1 और X·X′ = 0, X + X = X, अवशोषण X + X·Y = X, संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y और सहमति प्रमेय XY + X′Z + YZ = XY + X′Z। डी मॉर्गन के नियम (X·Y)′ को X′ + Y′ में और (X + Y)′ को X′·Y′ में बदलते हैं। कार्नो मानचित्र इन नियमों को चित्रात्मक रूप से लगाता है: दो पड़ोसी खानों का हर समूह XY + XY′ = X का एक उपयोग है।

व्यंजक के मिनटर्म

AB′C → m(5)

A′B′C → m(1)

A′BC′ → m(2)

AC′ → m(4, 6)

समूहित करें और पढ़ें

F = B′C + BC′ + AC′

लिटरल गिनें

L = 6

उत्तर

L = 6

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 14

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद की अवस्था

0001 → 0000 → 1000 → 1100 → 1110

दशमलव मान

1110₂ = 14

उत्तर

Q = 14

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 90⁻¹ mod 97 = 83

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·90 (mod 97) के रूप में लिखा जाता है।

r = 97, t = 0

r = 90, q = 1, t = 1

r = 7, q = 12, t = −1

r = 6, q = 1, t = 13

r = 1, q = 6, t = −14

व्युत्क्रम

1 ≡ −14·90 (mod 97)

x = 83

जाँच: 90·83 = 7470 = 77·97 + 1

उत्तर

90⁻¹ mod 97 = 83

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 110

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

13 = 8 + 4 + 1

307¹ ≡ 307 (mod 1081)

307² ≡ 202 (mod 1081)

C · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

विषम शीर्ष

A, C → 2

यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 4

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

A · ट्रांसपोर्ट परत

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 4094

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उपसर्ग लंबाई

255.255.240.0 = /20

उपयोगी होस्ट

2¹² − 2 = 4094

उत्तर

H = 4094

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 163

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

2² = 4

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊163/4⌋·4 = 160

ब्रॉडकास्ट: 160 + 4 − 1 = 163

उपयोगी होस्ट: 161 … 162

उत्तर

x = 163

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