कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −49 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −498 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

32-बिट दो के पूरक में संग्रहीत की जा सकने वाली सबसे छोटी (सबसे ऋणात्मक) पूर्णांक N क्या है?

32 bit

N =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

(r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q)

N =

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य c → (a ∨ b); c और निष्कर्ष a वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

c → (a ∨ b)c∴ a

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = 0, I₁ = C, I₂ = C, I₃ = 1 से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = 0I₁ = CI₂ = CI₃ = 1

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 5, 6, 9, 11, 15) + d(0, 8, 10, 13, 14) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 5, 6, 9, 11, 15) + d(0, 8, 10, 13, 14)

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

41 के मापांक में 3 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 41 और 3·x ≡ 1 (mod 41)।

a = 3n = 41

3⁻¹ mod 41 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी अभाज्य p = 17 और q = 31 तथा सार्वजनिक घातांक e = 19 का उपयोग करती है। निजी घातांक d ज्ञात करें (0 < d < φ(n))।

p = 17q = 31e = 19

d =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मानक तीन लूप से दो n × n मैट्रिक्स गुणा करने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

AO(n² log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(n³)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बड़े n के लिए n! और 2ⁿ की तुलना कैसी है?

Aदोनों एक ही दर से बढ़ते हैं
Bn!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
Cn!, O(n²) है
D2ⁿ, n! से तेज़ बढ़ता है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

Aलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
Bतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
Cलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
Dहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

12.डेटा संरचनाएँकठिन

एक सर्वर अपना हैश फ़ंक्शन यूनिवर्सल फ़ैमिली से यादृच्छिक रूप से क्यों चुन सकता है?

Aताकि यह बहुत असंभाव्य हो कि कोई हमलावर ऐसी कई कुंजियाँ चुन सके जो सभी टकराएँ
Bहैश टेबल को सॉर्टेड बनाने के लिए
Cटेबल का आकार बदलने की आवश्यकता हटाने के लिए
Dयह गारंटी देने के लिए कि हमलावर चाहे जो कुंजियाँ भेजे, कोई दो कुंजियाँ कभी न टकराएँ

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

2 × deg 3

L =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E

d(E) =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

जब WHERE क्लॉज़ किसी पंक्ति से मेल नहीं खाता, तो SELECT SUM(amount) FROM orders क्या लौटाता है?

Aएक ख़ाली स्ट्रिंग
BNULL
Cएक त्रुटि
D0

16.डेटाबेस और SQLकठिन

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales क्या गणना करता है?

Aहर पंक्ति पर सभी amounts का योग
Bप्रति दिन एक पंक्ति, केवल उस दिन के योग के साथ
Cday के अनुसार क्रमबद्ध amount का चलता योग (running total)
Dप्रति दिन औसत amount

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक स्विच सामान्यतः OSI की किस परत पर काम करता है?

Aभौतिक (परत 1)
Bनेटवर्क (परत 3)
Cडेटा लिंक (परत 2)
Dट्रांसपोर्ट (परत 4)

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

अतिरिक्त (redundant) स्विच लिंक वाले नेटवर्क में ब्रॉडकास्ट लूप को कौन-सी प्रणाली रोकती है?

AARP caching
BNAT
CSpanning Tree Protocol
DDHCP snooping

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 815 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

815 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 172.20.200.121/17 है। इसके सबनेट के ब्रॉडकास्ट पते का तीसरा ऑक्टेट x क्या है?

172.20.200.121/17

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 207

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

49 = 0011 0001

उलटा हुआ: 1100 1110

+1 → 1100 1111

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1100 1111₂ = 256 − 49 = 207

उत्तर

U = 207

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −2.147 × 10⁹

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

सबसे ऋणात्मक मान

−2³¹ = −2147483648

उत्तर

N = −2147483648

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 1

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: q ∨ r = 1, r ∧ (q ∨ r) = 1, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: q ∨ r = 1, r ∧ (q ∨ r) = 0, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: q ∨ r = 1, r ∧ (q ∨ r) = 1, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: q ∨ r = 0, r ∧ (q ∨ r) = 0, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: q ∨ r = 1, r ∧ (q ∨ r) = 1, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 1, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: q ∨ r = 1, r ∧ (q ∨ r) = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 1, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q ∨ r = 1, r ∧ (q ∨ r) = 1, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 0, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: q ∨ r = 0, r ∧ (q ∨ r) = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 0, (r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q) = 0

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

(r ∧ (q ∨ r)) ∧ (¬p ∧ q): 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0

N = 1

उत्तर

N = 1

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: a = 0, b = 1, c = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 0 | 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 1

a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 0

a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 0

a = 0, b = 0, c = 1: 0 1 | 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 0 | 0

प्रति-उदाहरण

a = 0, b = 1, c = 1

उत्तर

a = 0, b = 1, c = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′BC + AB′C + AB

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 011, 101, 110, 111

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

C′D, B′D, B′C′, BCD′, AD, AC, AB′

न्यूनतम आवरण

F = C′D + B′D + BCD′ + AD

N = 4

उत्तर

N = 4

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 3⁻¹ mod 41 = 14

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·3 (mod 41) के रूप में लिखा जाता है।

r = 41, t = 0

r = 3, q = 13, t = 1

r = 2, q = 1, t = −13

r = 1, q = 2, t = 14

व्युत्क्रम

1 ≡ 14·3 (mod 41)

x = 14

जाँच: 3·14 = 42 = 1·41 + 1

उत्तर

3⁻¹ mod 41 = 14

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: d = 379

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

मापांक और टोशेंट

n = 17·31 = 527

φ(n) = 16·30 = 480

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

r = 480, t = 0

r = 19, q = 25, t = 1

r = 5, q = 3, t = −25

r = 4, q = 1, t = 76

r = 1, q = 4, t = −101

निजी घातांक

d = 379

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 6 = 2(L + 2) − 2

L = 4

उत्तर

L = 4

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 22

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 15, C: 4

C (4)

B (15): D: 19, E: 22

D (19): F: 26

E (22)

F (26)

सबसे छोटा पथ

A → B → E

आवश्यक होस्ट बिट

2⁹ − 2 = 510 < 815

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 815 → h = 10

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 10 = 22

उत्तर

p = /22

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 255

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

तीसरे ऑक्टेट में ब्लॉक आकार

2⁷ = 128

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: 172.20.128.0

ब्रॉडकास्ट: 172.20.255.255

उत्तर

x = 255

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