कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
दो के पूरक में स्थानीय मान1−12816403211608141211

8-बिट पैटर्न 1101 0111 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1101 01118 bit
N =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
1977 कोड, b = ? बिट?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

एक प्रणाली को 1977 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?

1977
b = bit
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
r → (p ∧ q)(p ∧ q) ∧ ¬r¬r → ¬(p ∧ q)¬(p ∧ q) → ¬r

आप (p ∧ q) → r को प्रतिधनात्मक द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। इसके बजाय कौन-सा निहितार्थ सिद्ध करेंगे? उस पर क्लिक करें।

(p ∧ q) → r
  1. 1r → (p ∧ q)
  2. 2(p ∧ q) ∧ ¬r
  3. 3¬r → ¬(p ∧ q)
  4. 4¬(p ∧ q) → ¬r
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
∀x (F(x) ∧ ¬G(x))∃x (F(x) ∧ ¬G(x))∃x (F(x) → ¬G(x))∀x (F(x) → ¬G(x))

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∀x (F(x) → G(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∀x (F(x) → G(x))
  1. 1∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
  2. 2∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
  3. 3∃x (F(x) → ¬G(x))
  4. 4∀x (F(x) → ¬G(x))
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABC00011110011001130214050706

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4)
N =
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
CLKT1234567

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड T फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0T
  1. 1क्लॉक कोर 1
  2. 2क्लॉक कोर 2
  3. 3क्लॉक कोर 3
  4. 4क्लॉक कोर 4
  5. 5क्लॉक कोर 5
  6. 6क्लॉक कोर 6
  7. 7क्लॉक कोर 7
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात करें जिसके लिए x ≡ 2 (mod 7) और x ≡ 7 (mod 11)।

x ≡ 2 (mod 7)x ≡ 7 (mod 11)
x =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

5141 mod 34 ज्ञात करने के लिए बार-बार वर्ग करने की विधि का उपयोग करें।

a = 5k = 141n = 34
5141 mod 34 =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बिना वेट वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च (BFS) क्या खोजता है?

  1. Aसभी ग्राफ़ों में एक टोपोलॉजिकल क्रम
  2. Bऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ
  3. Cप्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
  4. Dमिनिमम स्पैनिंग ट्री
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

इंसर्शन सॉर्ट सॉर्टेड इनपुट पर O(n) में चलता है। क्या यह तुलना-आधारित सॉर्टिंग की Ω(n log n) निचली सीमा का खंडन करता है?

  1. Aहाँ, पर केवल 100 से छोटे ऐरे के लिए
  2. Bनहीं, क्योंकि इंसर्शन सॉर्ट तुलना-आधारित सॉर्ट नहीं है
  3. Cहाँ, इसलिए निचली सीमा ग़लत है
  4. Dनहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

पोस्टफ़िक्स एक्सप्रेशन 3 4 + 2 * का मान क्या है?

  1. A14
  2. B10
  3. C24
  4. D11
12.डेटा संरचनाएँकठिन

एडजेसेंसी मैट्रिक्स के रूप में संग्रहीत V शीर्षों वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
8141761311519ABCDEF

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर BE
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

छात्र कई कोर्स ले सकते हैं और कोर्स में कई छात्र होते हैं। इसे टेबलों में कैसे मॉडल किया जाता है?

  1. Astudents और courses दोनों की फ़ॉरेन की रखने वाली एक जंक्शन टेबल से
  2. Bstudents टेबल में course_id फ़ॉरेन की कॉलम से, जो courses को इंगित करता है
  3. Cएक कॉलम में संग्रहित course id की सूची से
  4. Dstudents और courses को एक टेबल में मिलाकर
16.डेटाबेस और SQLकठिन

अज्ञात गहराई वाले संगठन वृक्ष में किसी मैनेजर के नीचे हर कर्मचारी को खोजने के लिए कौन-सी SQL सुविधा सबसे उपयुक्त है?

  1. Aemployees टेबल का manager_id पर एक अकेला सेल्फ़-जॉइन
  2. Bएक रिकर्सिव कॉमन टेबल एक्सप्रेशन (WITH RECURSIVE)
  3. Cmanager_id पर GROUP BY
  4. Dmanager_id पर UNIQUE कंस्ट्रेंट
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक स्विच सामान्यतः OSI की किस परत पर काम करता है?

  1. Aडेटा लिंक (परत 2)
  2. Bट्रांसपोर्ट (परत 4)
  3. Cभौतिक (परत 1)
  4. Dनेटवर्क (परत 3)
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

Shannon के प्रमेय के अनुसार, 255 के सिग्नल-टू-नॉइज़ अनुपात वाले 1 MHz चैनल की क्षमता क्या है?

  1. A8 Mbit/s
  2. B2 Mbit/s
  3. C255 Mbit/s
  4. D1 Mbit/s
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/24 → /2711111111111111111111111111100000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 8 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/248 subnets
H =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन
तीसरा ऑक्टेट 67 … 71012816403201608041211साझाभिन्न

एक राउटर के पास इन नेटवर्कों के लिए रूट हैं: 10.253.67.0/24, 10.253.68.0/24, 10.253.69.0/24, 10.253.70.0/24, 10.253.71.0/24। इन सबको कवर करने वाले एकल सारांश रूट की सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p क्या है?

10.253.67.0/24 … 10.253.71.0/24
p =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −41

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1 = −41

उत्तर

N = −41
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: b = 11 bit

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

दो की घातें

210 = 1024 < 1977
211 = 2048 ≥ 1977

उत्तर

b = 11
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬r → ¬(p ∧ q)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = p ∧ q, b = r

प्रतिधनात्मक

¬b → ¬a = ¬r → ¬(p ∧ q)

उत्तर

¬r → ¬(p ∧ q)

प्रतिधनात्मक मूल कथन के तुल्य है, इसलिए उसे सिद्ध करने से कथन सिद्ध हो जाता है।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

उत्तर

∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

ABC00011110011001130214050706

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B + C′)
(B′ + C)
(A′ + C′)

न्यूनतम POS रूप

F = (B + C′)(B′ + C)(A′ + C′)
N = 3

उत्तर

N = 3

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 4

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

T फ़्लिप-फ़्लॉप T = 1 के साथ हर आरोही कोर पर टॉगल करता है और T = 0 के साथ स्थिर रहता है।

1: T = 0 → Q = 0
2: T = 1 → Q = 1
3: T = 0 → Q = 1
4: T = 1 → Q = 0
5: T = 1 → Q = 1
6: T = 1 → Q = 0
7: T = 0 → Q = 0

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 4

उत्तर

क्लॉक कोर 4
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 51

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

पहली सर्वांगसमता

x = 2 + 7k

दूसरी सर्वांगसमता

2 + 7k ≡ 7 (mod 11) → 7k ≡ 5 (mod 11)
k ≡ 8·5 ≡ 7 (mod 11)

परिणाम

x = 2 + 7·7 = 51
x = 51
जाँच: 51 mod 7 = 2, 51 mod 11 = 7

उत्तर

x = 51
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 5141 mod 34 = 3

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

द्विआधारी घातांक

141 = 100011012 = 128 + 8 + 4 + 1

बार-बार वर्ग करना

51 ≡ 5 (mod 34)
52 ≡ 25 (mod 34)
54 ≡ 13 (mod 34)
58 ≡ 33 (mod 34)
516 ≡ 1 (mod 34)
532 ≡ 1 (mod 34)
564 ≡ 1 (mod 34)
5128 ≡ 1 (mod 34)

आवश्यक घातों को गुणा करें

5141 ≡ 5·13·33·1 ≡ 3 (mod 34)

उत्तर

5141 mod 34 = 3
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ

यह उत्तर क्यों है

BFS नोड्स को स्रोत से दूरी (एज) के क्रम में देखता है, इसलिए यह O(V + E) में सबसे छोटे बिना वेट वाले पथ खोजता है।

उत्तर

C · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं

यह उत्तर क्यों है

सीमा कहती है कि हर तुलना-आधारित सॉर्ट को n आकार के किसी इनपुट पर लगभग n log n तुलनाएँ चाहिए; विशेष इनपुट बहुत तेज़ हो सकते हैं।

उत्तर

D · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 14

यह उत्तर क्यों है

3 और 4 push करें, + से 7 मिलता है; 2 push करें, * से 7 × 2 = 14 मिलता है।

उत्तर

A · 14
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(V²)

यह उत्तर क्यों है

V शीर्षों में से हर एक V प्रविष्टियों की पंक्ति स्कैन करता है, जिससे O(V²) मिलता है; एडजेसेंसी लिस्ट के साथ BFS, O(V + E) है।

उत्तर

D · O(V²)
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

B, C → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर DF

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. EF (5)
2. BD (6)
3. AB (8)
4. DF (11)
5. CE (13)

कोर संख्या 4

DF

उत्तर

कोर DF
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: A · students और courses दोनों की फ़ॉरेन की रखने वाली एक जंक्शन टेबल से

यह उत्तर क्यों है

अनेक-से-अनेक संबंध के लिए एक सहयोगी (जंक्शन) टेबल चाहिए, उदाहरण के लिए enrolment(student_id, course_id), अक्सर कंपोज़िट प्राइमरी की के साथ।

उत्तर

A · students और courses दोनों की फ़ॉरेन की रखने वाली एक जंक्शन टेबल से
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: B · एक रिकर्सिव कॉमन टेबल एक्सप्रेशन (WITH RECURSIVE)

यह उत्तर क्यों है

रिकर्सिव CTE एक एंकर क्वेरी से शुरू होता है और पिछले परिणाम को बार-बार टेबल से जोड़ता है, इसलिए यह किसी भी गहराई के पदानुक्रम संभाल लेता है।

उत्तर

B · एक रिकर्सिव कॉमन टेबल एक्सप्रेशन (WITH RECURSIVE)
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: A · डेटा लिंक (परत 2)

यह उत्तर क्यों है

एक सामान्य स्विच MAC पते सीखता है और परत 2 पर फ़्रेम आगे भेजता है। परत 3 स्विच रूटिंग भी करते हैं।

उत्तर

A · डेटा लिंक (परत 2)
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: A · 8 Mbit/s

यह उत्तर क्यों है

C = 10⁶ × log₂(256) = 10⁶ × 8 = 8 Mbit/s। यह शोरयुक्त चैनल पर त्रुटि-रहित डेटा दर की ऊपरी सीमा है।

उत्तर

A · 8 Mbit/s
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 30

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

23 = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

प्रति सबनेट होस्ट

25 − 2 = 30

उत्तर

H = 30
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 21

रूट सारांशीकरण: सारांश रूट a.b.c.0/p उन सभी नेटवर्कों को कवर करता है जिनके पहले p बिट मेल खाते हैं। पहले और अंतिम नेटवर्क के भिन्न ऑक्टेट को बाइनरी में लिखें; साझा अग्रणी बिटों की संख्या, उससे पहले के ऑक्टेटों के बिट जोड़कर, सबसे लंबा सारांश उपसर्ग है।

बिटों की तुलना करें

67 = 01000011
71 = 01000111
साझा अग्रणी बिट: 5

उपसर्ग लंबाई

p = 16 + 5 = 21

उत्तर

p = /21

सारांश रूट: 10.253.64.0/21 (यह 3 ऐसे नेटवर्क भी कवर करता है जो सूची में नहीं हैं)।

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