कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
दो के पूरक में स्थानीय मान1−12816413201618141211

8-बिट पैटर्न 1110 1111 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1110 11118 bit
N =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
बिट सेट करने के लिए उन पर क्लिक करें012806403201608040201

बिट को 0001 1101 << 3 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0001 1101<< 3
R =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
पुनरुक्तिविरोधोक्तिआपातिक कथन

क्या ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) पुनरुक्ति, विरोधोक्ति या आपातिक कथन है? अपना उत्तर क्लिक करें।

((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p)
  1. 1पुनरुक्ति
  2. 2विरोधोक्ति
  3. 3आपातिक कथन
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
qrq → rrq11100100

आधार-वाक्य q → r; r और निष्कर्ष q वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

q → rr∴ q
  1. 1q = 1, r = 1
  2. 2q = 1, r = 0
  3. 3q = 0, r = 1
  4. 4q = 0, r = 0
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
MUX1I0​1I1​1I2​CI3​ABS1​S0​F

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = 1, I₁ = 1, I₂ = 1, I₃ = C से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = 1I₁ = 1I₂ = 1I₃ = C
N =
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
CLKT1234567

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड T फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0T
  1. 1क्लॉक कोर 1
  2. 2क्लॉक कोर 2
  3. 3क्लॉक कोर 3
  4. 4क्लॉक कोर 4
  5. 5क्लॉक कोर 5
  6. 6क्लॉक कोर 6
  7. 7क्लॉक कोर 7
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

53 के मापांक में 38 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 53 और 38·x ≡ 1 (mod 53)।

a = 38n = 53
38−1 mod 53 =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
mc = me​ mod n888m = cd​ mod n?(n, e) = (893, 17)d

एक RSA कुंजी में p = 19, q = 47 और e = 17 हैं। सिफरटेक्स्ट c = 888 को डिक्रिप्ट करें: संदेश m ज्ञात करें।

p = 19q = 47e = 17c = 888
m =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बिना वेट वाले ग्राफ़ पर ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च (BFS) क्या खोजता है?

  1. Aसभी ग्राफ़ों में एक टोपोलॉजिकल क्रम
  2. Bऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में सबसे छोटे पथ
  3. Cमिनिमम स्पैनिंग ट्री
  4. Dप्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हेल्ड–कार्प डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या को ठीक-ठीक हल करता है। n शहरों के लिए इसका रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n!)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

आकार 7 की हैश टेबल h(k) = k mod 7 और लीनियर प्रोबिंग का उपयोग करती है। 10 डालने के बाद 17 कहाँ संग्रहीत होगा?

  1. Aइंडेक्स 0
  2. Bइंडेक्स 3
  3. Cइंडेक्स 6
  4. Dइंडेक्स 4
12.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रुस्कल के मिनिमम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम में union-find संरचना का उपयोग किसलिए होता है?

  1. Aकिनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करने के लिए
  2. Bप्रारंभिक शीर्ष चुनने के लिए
  3. Cखोज के दौरान हर शीर्ष की स्रोत से वर्तमान दूरी संग्रहीत करने के लिए
  4. Dयह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 20 शीर्ष और 24 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 20|E| = 24
k =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
418111692141319ABCDEF

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 3
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर DF
  8. 8कोर EF
  9. 9कोर BE
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कौन-सी क्वेरी प्रति ग्राहक ऑर्डरों की संख्या लौटाती है?

  1. ASELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
  2. BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
  3. CSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
  4. DSELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders
16.डेटाबेस और SQLकठिन

बिना उपयोगी इंडेक्स वाली दो बड़ी टेबलों के बीच समता जॉइन के लिए ऑप्टिमाइज़र अक्सर कौन-सा जॉइन एल्गोरिदम चुनता है?

  1. Aप्राइमरी की पर बिटमैप जॉइन
  2. Bइंडेक्स लुकअप के साथ नेस्टेड लूप जॉइन
  3. Cक्रॉस जॉइन
  4. Dहैश जॉइन
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक /24 IPv4 नेटवर्क में कितने उपयोग योग्य होस्ट पते होते हैं?

  1. A255
  2. B252
  3. C256
  4. D254
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

TCP हर कनेक्शन के लिए अप्रत्याशित प्रारंभिक अनुक्रम संख्या (initial sequence number) क्यों चुनता है?

  1. Aउस कनेक्शन के सेगमेंटों के लिए गंतव्य तक का सबसे अच्छा मार्ग चुनने के लिए
  2. Bडेटा को अधिक कुशलता से संपीड़ित करने के लिए
  3. Cपुराने सेगमेंटों से भ्रम से बचने और जाली सेगमेंट डालना कठिन बनाने के लिए
  4. Dहर सेगमेंट के पेलोड को एन्क्रिप्ट करने के लिए
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/24 → /2911111111111111111111111111111000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 20 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/2420 subnets
H =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन
अंतिम ऑक्टेट = 9012806403201618040211नेटवर्कहोस्ट

एक होस्ट का पता 10.20.13.9/29 है। उसके सबनेट के अंतिम उपयोगी होस्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.13.9/29
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −17

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = −17

उत्तर

N = −17
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 232

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

3 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 3 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

0001 1101 << 3
= 1110 1000

परिणाम का मान

1110 1000₂ = 232

उत्तर

R = 232
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: पुनरुक्ति

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: q → r = 1, r → p = 1, (q → r) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q → r = 0, r → p = 1, (q → r) ∧ (r → p) = 0, q → p = 1, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: q → r = 1, r → p = 1, (q → r) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: q → r = 1, r → p = 1, (q → r) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: q → r = 1, r → p = 0, (q → r) ∧ (r → p) = 0, q → p = 0, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: q → r = 0, r → p = 1, (q → r) ∧ (r → p) = 0, q → p = 0, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: q → r = 1, r → p = 0, (q → r) ∧ (r → p) = 0, q → p = 1, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: q → r = 1, r → p = 1, (q → r) ∧ (r → p) = 1, q → p = 1, ((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p) = 1

वर्गीकृत करें

((q → r) ∧ (r → p)) → (q → p): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
हर पंक्ति में 1: पुनरुक्ति।

उत्तर

पुनरुक्ति
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: q = 0, r = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

q = 1, r = 1: 1 1 | 1
q = 1, r = 0: 0 0 | 1
q = 0, r = 1: 1 1 | 0
q = 0, r = 0: 1 0 | 0

प्रति-उदाहरण

q = 0, r = 1

उत्तर

q = 0, r = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 7

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′B′ + A′B + AB′ + ABC

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 000, 001, 010, 011, 100, 101, 111
N = 7

उत्तर

N = 7
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 4

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

T फ़्लिप-फ़्लॉप T = 1 के साथ हर आरोही कोर पर टॉगल करता है और T = 0 के साथ स्थिर रहता है।

1: T = 1 → Q = 1
2: T = 0 → Q = 1
3: T = 0 → Q = 1
4: T = 1 → Q = 0
5: T = 0 → Q = 0
6: T = 0 → Q = 0
7: T = 1 → Q = 1

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 4

उत्तर

क्लॉक कोर 4
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 38−1 mod 53 = 7

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·38 (mod 53) के रूप में लिखा जाता है।

r = 53, t = 0
r = 38, q = 1, t = 1
r = 15, q = 2, t = −1
r = 8, q = 1, t = 3
r = 7, q = 1, t = −4
r = 1, q = 7, t = 7

व्युत्क्रम

1 ≡ 7·38 (mod 53)
x = 7
जाँच: 38·7 = 266 = 5·53 + 1

उत्तर

38−1 mod 53 = 7
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: m = 319

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

निजी घातांक

n = 893, φ(n) = 828
d = 17−1 mod 828 = 341

बार-बार वर्ग करके डिक्रिप्ट करें

341 = 256 + 64 + 16 + 4 + 1
8881 ≡ 888 (mod 893)
8882 ≡ 25 (mod 893)
8884 ≡ 625 (mod 893)
8888 ≡ 384 (mod 893)
88816 ≡ 111 (mod 893)
88832 ≡ 712 (mod 893)
88864 ≡ 613 (mod 893)
888128 ≡ 709 (mod 893)
888256 ≡ 815 (mod 893)
888341 ≡ 888·625·111·613·815 ≡ 319 (mod 893)

संदेश

m = 319
जाँच: 31917 mod 893 = 888

उत्तर

m = 319
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ

यह उत्तर क्यों है

BFS नोड्स को स्रोत से दूरी (एज) के क्रम में देखता है, इसलिए यह O(V + E) में सबसे छोटे बिना वेट वाले पथ खोजता है।

उत्तर

D · प्रारंभिक नोड से एज की संख्या के अनुसार सबसे छोटे पथ
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n² 2ⁿ)

यह उत्तर क्यों है

लगभग n 2ⁿ अवस्थाएँ हैं, हर एक की गणना O(n) में होती है; यह घातांकी है पर सभी (n − 1)! टूर आज़माने से कहीं तेज़ है।

उत्तर

C · O(n² 2ⁿ)
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · इंडेक्स 4

यह उत्तर क्यों है

10 mod 7 = 3 और 17 mod 7 = 3; इंडेक्स 3 भरा है, इसलिए लीनियर प्रोबिंग अगला स्लॉट, इंडेक्स 4, आज़माती है।

उत्तर

D · इंडेक्स 4
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं

यह उत्तर क्यों है

Find बताता है कि दोनों सिरे एक ही घटक में हैं या नहीं; यदि नहीं, तो किनारा जोड़ा जाता है और union घटकों को मिला देता है।

उत्तर

D · यह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 5

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

20 − 1 = 19

हटाई जाने वाली कोरें

k = 24 − 19 = 5

उत्तर

k = 5
14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर CE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. DE (2)
2. AB (4)
3. CE (9)
4. BC (11)
5. EF (13)

कोर संख्या 3

CE

उत्तर

कोर CE
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: B · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id

यह उत्तर क्यों है

GROUP BY customer_id प्रत्येक ग्राहक के लिए एक समूह बनाता है, और COUNT(*) प्रत्येक समूह की पंक्तियाँ गिनता है।

उत्तर

B · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: D · हैश जॉइन

यह उत्तर क्यों है

हैश जॉइन एक इनपुट पर हैश टेबल बनाता है और दूसरे से उसकी जाँच करता है, जो बिना इंडेक्स के बड़े equi-join के लिए अच्छा काम करता है।

उत्तर

D · हैश जॉइन
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · 254

यह उत्तर क्यों है

/24 में 8 होस्ट बिट होते हैं, इसलिए 2⁸ = 256 पते। नेटवर्क और ब्रॉडकास्ट पते आरक्षित हैं, जिससे होस्टों के लिए 254 बचते हैं।

उत्तर

D · 254
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: C · पुराने सेगमेंटों से भ्रम से बचने और जाली सेगमेंट डालना कठिन बनाने के लिए

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक प्रारंभिक अनुक्रम संख्याएँ पुराने कनेक्शनों के विलंबित सेगमेंटों को स्वीकार होने से रोकती हैं और मार्ग से बाहर के हमलावरों के लिए वैध सेगमेंट जाली बनाना कठिन करती हैं।

उत्तर

C · पुराने सेगमेंटों से भ्रम से बचने और जाली सेगमेंट डालना कठिन बनाने के लिए
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 6

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

25 = 32 ≥ 20 → b = 5, /29

प्रति सबनेट होस्ट

23 − 2 = 6

उत्तर

H = 6
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 14

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

23 = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊9/8⌋·8 = 8
ब्रॉडकास्ट: 8 + 8 − 1 = 15
उपयोगी होस्ट: 9 … 14

उत्तर

x = 14

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