कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
8-बिट दो का पूरक0−12806403201608040201

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −41 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −418 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
24 bit1 px512 px512 pxM = ? KiB

एक असंपीड़ित छवि 512 × 512 पिक्सेल की है, प्रति पिक्सेल 24 बिट। यह KiB में (1 KiB = 1024 बाइट) कितनी मेमोरी M लेती है?

512 × 512 px24 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
r ↔ ¬q¬r ∨ ¬q¬r ↔ ¬qr ∧ ¬q

कौन-सा सूत्र ¬(r ↔ q) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬(r ↔ q)
  1. 1r ↔ ¬q
  2. 2¬r ∨ ¬q
  3. 3¬r ↔ ¬q
  4. 4r ∧ ¬q
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
p ∧ r¬qqp

आधार-वाक्य p ∨ r; p → q; r → q दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

p ∨ rp → qr → q
  1. 1p ∧ r
  2. 2¬q
  3. 3q
  4. 4p
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABCD0001111000011110111111

इस कार्नो मानचित्र में ठीक एक 1 का कोई पड़ोसी 1 नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम SOP रूप में एक खाने का समूह (चार लिटरल का पूर्ण मिनटर्म) बना रहता है। मानचित्र के किनारों के आर-पार के पड़ोसी भी गिने जाते हैं। उस खाने पर क्लिक करें।

F = Σm(3, 6, 8, 11, 14, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
ABCD000111100001111000X113X204150716012013015114X819X11010

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 9, 14) + d(1, 2, 8, 11) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 9, 14) + d(1, 2, 8, 11)
N =
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

19x ≡ 9 (mod 29) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 29।

19x ≡ 9 (mod 29)
x =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
48c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (731, 17)d

संदेश m = 48 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (731, 17) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 731e = 17m = 48
c =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या का वर्गीकरण कैसे होता है?

  1. Aनिर्णय रूप P में है पर ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-complete है
  2. Bयह P में है क्योंकि डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम हर शहर को एक बार देखकर इसे हल करता है
  3. Cनिर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard
  4. Dयह अनिर्णेय है
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में अधिकतम संभव लोड फ़ैक्टर क्या है?

  1. A0.5
  2. Bकोई अधिकतम नहीं है
  3. C1
  4. D2
12.डेटा संरचनाएँकठिन

n संख्याओं के ऐरे पर फ़ेनविक ट्री (बाइनरी इंडेक्स्ड ट्री) कौन-से ऑपरेशन O(log n) में समर्थित करता है?

  1. Aकिसी भी स्थिति पर तत्व डालना
  2. BO(1) में माध्यिका खोजना
  3. Cप्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
  4. Dऐरे सॉर्ट करना और बाइनरी सर्च
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 44 × deg 2
L =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1513614111102ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

रिलेशनल बीजगणित में सेलेक्शन ऑपरेटर (σ) किस SQL क्लॉज़ के अनुरूप है?

  1. ASELECT सूची
  2. BORDER BY
  3. CWHERE
  4. DGROUP BY
16.डेटाबेस और SQLकठिन

(last_name, first_name) पर एक कंपोज़िट इंडेक्स है। कौन-सी शर्त इसका सबसे प्रभावी उपयोग कर सकती है?

  1. AWHERE first_name = 'Eva'
  2. BWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
  3. CWHERE last_name = 'Jansen'
  4. DWHERE first_name LIKE '%a'
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

सम पैरिटी (even parity) का उपयोग करते हुए, डेटा बिट्स 1011001 में कौन-सा पैरिटी बिट जोड़ा जाता है?

  1. A4
  2. B1
  3. C0
  4. D2
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक मार्ग की बैंडविड्थ 100 Mbit/s और राउंड-ट्रिप समय 40 ms है। इसे पूरी तरह उपयोग में रखने के लिए कितना डेटा प्रवाह में (in flight) होना चाहिए?

  1. A500 kB
  2. B50 kB
  3. C4 kB
  4. D2.5 MB
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/?11111111111111111111111000000000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

एक विभाग को एक ही सबनेट में 401 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

401 hosts
p =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.214.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 4 होस्ट, B: 12 होस्ट, C: 25 होस्ट, D: 17 होस्ट, E: 5 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN D के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 4B: 12C: 25D: 17E: 5
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 215

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

41 = 0010 1001
उलटा हुआ: 1101 0110
+1 → 1101 0111

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1101 0111₂ = 256 − 41 = 215

उत्तर

U = 215
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: M = 768 KiB

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

बिट और बाइट

512·512·24 = 6291456 bit = 786432 B

KiB में बदलें

786432/1024 = 768 KiB

उत्तर

M = 768 KiB
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: r ↔ ¬q

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

¬(a ↔ b) ठीक तब 1 होता है जब a और b भिन्न हों, जो a ↔ ¬b है।
¬(r ↔ q) ≡ r ↔ ¬q

सत्यमान सारणी से जाँच

q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0
q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 0
q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1
q = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 0

उत्तर

r ↔ ¬q

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: q

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

p = 1, q = 1, r = 1: p ∧ r = 1, ¬q = 0, q = 1, p = 1
p = 1, q = 1, r = 0: p ∧ r = 0, ¬q = 0, q = 1, p = 1
p = 0, q = 1, r = 1: p ∧ r = 0, ¬q = 0, q = 1, p = 0

निष्कर्ष

q (स्थिति-विभाजन द्वारा उपपत्ति)

उत्तर

q
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: AB = 10, CD = 00

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

हर 1 के पड़ोसी

पड़ोसी 1 वाला 1 दो या अधिक के समूह में शामिल हो सकता है।

m8: m9, m10, m12, m0 → 0
ABCD0001111000011110111111

अकेला 1

m8 = AB′C′D′ → AB = 10, CD = 00

उत्तर

AB = 10, CD = 00
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

B′D, BCD′, A′C′D, A′CD′, A′B′C, AB′C′
ABCD000111100001111000X113X204150716012013015114X819X11010

न्यूनतम आवरण

F = B′D + BCD′ + A′C′D
N = 3

उत्तर

N = 3
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 2

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

19 का प्रतिलोम

r = 29, t = 0
r = 19, q = 1, t = 1
r = 10, q = 1, t = −1
r = 9, q = 1, t = 2
r = 1, q = 9, t = −3
19−1 ≡ 26 (mod 29)

हल करें

x ≡ 26·9 = 234 ≡ 2 (mod 29)
जाँच: 19·2 = 38 ≡ 9 (mod 29)

उत्तर

x = 2
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 286

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

17 = 16 + 1
481 ≡ 48 (mod 731)
482 ≡ 111 (mod 731)
484 ≡ 625 (mod 731)
488 ≡ 271 (mod 731)
4816 ≡ 341 (mod 731)
4817 ≡ 48·341 ≡ 286 (mod 731)

सिफरटेक्स्ट

c = 286

उत्तर

c = 286
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

मास्टर प्रमेय से nlog₂ 2 = n स्थिर कार्य पर प्रभावी होता है, इसलिए T(n) = Θ(n), जैसे आधे भागों में बाँटकर अधिकतम खोजने में।

उत्तर

A · O(n)
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · निर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard

यह उत्तर क्यों है

"क्या अधिकतम k लंबाई का कोई टूर है?" NP-complete है; सबसे छोटा टूर खोजना NP-hard है, क्योंकि यह कम से कम उतना ही कठिन है।

उत्तर

C · निर्णय रूप NP-complete है और ऑप्टिमाइज़ेशन रूप NP-hard
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 1

यह उत्तर क्यों है

ओपन एड्रेसिंग में सभी कुंजियाँ स्वयं टेबल में संग्रहीत होती हैं, इसलिए n, m से अधिक नहीं हो सकता; सेपरेट चेनिंग में लोड फ़ैक्टर 1 से अधिक हो सकता है।

उत्तर

C · 1
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट

यह उत्तर क्यों है

फ़ेनविक ट्री हर इंडेक्स के निचले बिटों से निर्धारित रेंजों के आंशिक योग संग्रहीत करता है, इसलिए प्रीफ़िक्स योग और पॉइंट अपडेट दोनों में O(log n) लगता है।

उत्तर

C · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

उत्तर

L = 8

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 15, C: 13
2. C (13): E: 14
3. E (14): D: 25, F: 16
4. B (15)
5. F (16)
6. D (25)

चक्र 3

E

उत्तर

E
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: C · WHERE

यह उत्तर क्यों है

σcondition(R), R के वे ट्यूपल लौटाता है जो शर्त पूरी करते हैं, WHERE क्लॉज़ की तरह।

उत्तर

C · WHERE
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: C · WHERE last_name = 'Jansen'

यह उत्तर क्यों है

कंपोज़िट B-tree इंडेक्स last_name और फिर first_name से क्रमबद्ध होता है, इसलिए अग्रणी कॉलम पर खोज काम करती है, पर अकेला first_name उस क्रम का उपयोग नहीं कर सकता।

उत्तर

C · WHERE last_name = 'Jansen'
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: C · 0

यह उत्तर क्यों है

1011001 में चार 1-बिट हैं, जो पहले से सम संख्या है, इसलिए पैरिटी बिट 0 है। विषम पैरिटी के साथ यह 1 होता।

उत्तर

C · 0
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: A · 500 kB

यह उत्तर क्यों है

बैंडविड्थ-विलंब गुणनफल (bandwidth-delay product) 100 × 10⁶ bit/s × 0.04 s = 4 × 10⁶ बिट = 500 kB है। प्रेषक की विंडो कम से कम इतनी बड़ी होनी चाहिए।

उत्तर

A · 500 kB
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 23

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

28 − 2 = 254 < 401
29 − 2 = 510 ≥ 401 → h = 9

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 9 = 23

उत्तर

p = /23
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 32

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

C: 25 होस्ट → 25 = 32 (/27)
D: 17 होस्ट → 25 = 32 (/27)
B: 12 होस्ट → 24 = 16 (/28)
E: 5 होस्ट → 23 = 8 (/29)
A: 4 होस्ट → 23 = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

C: .0 – .31
D: .32 – .63
B: .64 – .79
E: .80 – .87
A: .88 – .95

उत्तर

x = 32

LAN D: 192.168.214.32/27।

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