कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

8-बिट पैटर्न 1101 1011 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1101 10118 bit

N =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0101 0110 OR 1111 1001 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0101 0110OR1111 1001

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

आप b → (a ∧ c) को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। शुरू में कौन-सा कथन मानेंगे? उस पर क्लिक करें।

b → (a ∧ c)

1¬b ∧ ¬(a ∧ c)
2¬b → ¬(a ∧ c)
3b ∧ ¬(a ∧ c)
4¬b ∧ (a ∧ c)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

सत्यमान सारणी की 16 पंक्तियों में से कितनी ((a ∨ b) ↔ (c ∨ b)) ↔ ((d ∧ ¬a) ∧ (c ∧ ¬d)) को सत्य बनाती हैं? इस संख्या को N कहें।

((a ∨ b) ↔ (c ∨ b)) ↔ ((d ∧ ¬a) ∧ (c ∧ ¬d))

N =

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 9, 12, 13, 14) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 9, 12, 13, 14)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक रिंग काउंटर 6 D फ़्लिप-फ़्लॉप से बना है जिसमें अंतिम निर्गत पहले निवेश में लौटाया जाता है, और वह एकल 1 से शुरू होता है। वह कितनी भिन्न अवस्थाओं N से गुज़रता है?

n = 6

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

27x ≡ 24 (mod 29) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 29।

27x ≡ 24 (mod 29)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

संदेश m = 71 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (85, 13) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 85e = 13m = 71

c =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

सरल रिकर्सिव फ़िबोनाची (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

Aस्थिर (Constant)
Bरैखिक (Linear)
Cघातांकी (Exponential)
Dलघुगणकीय (Logarithmic)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बाइनरी काउंटर को बढ़ाने (increment) की एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है, यह देखते हुए कि एक वृद्धि कई बिट पलट सकती है?

Aप्रति वृद्धि O(1)
Bप्रति वृद्धि O(n)
Cप्रति वृद्धि O(n log n)
Dप्रति वृद्धि O(log n)

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

लोड फ़ैक्टर सीमा पार होने के बाद जब हैश टेबल rehash करती है, तो क्या होता है?

Aजगह बनाने के लिए सबसे पुरानी कुंजियाँ हटा दी जाती हैं
Bएक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
Cमौजूदा कुंजियाँ उसी स्थान पर सॉर्ट की जाती हैं
Dकेवल टकराने वाली कुंजियाँ टेबल के अंत में एक नई ओवरफ़्लो लिस्ट में ले जाई जाती हैं

12.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस और फ़ाइल सिस्टम में B-ट्री का उपयोग क्यों किया जाता है?

Aवे किसी भी ऐरे से कम मेमोरी लेते हैं, इसलिए पूरा इंडेक्स हमेशा मुख्य मेमोरी में समा जाता है
Bउन्हें पुनर्संतुलन की आवश्यकता नहीं होती
Cवे डेटा को अक्रमबद्ध संग्रहीत करते हैं
Dउनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 10

W =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कौन-सी क्वेरी customers टेबल में अलग-अलग शहरों की संख्या लौटाती है?

ASELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
BSELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
CSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers
DSELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city

16.डेटाबेस और SQLकठिन

R(A, B, C, D) पर फ़ंक्शनल डिपेंडेंसी A → B, B → C और C → D दी गई हैं। क्लोज़र A⁺ क्या है?

A{A, B, C}
B{A, B}
C{A, B, C, D}
D{A}

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा DNS रिकॉर्ड प्रकार होस्ट नाम को IPv6 पते से जोड़ता है?

AAAAA
BCNAME
CA
DMX

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक 8-पोर्ट स्विच (बिना VLAN) के हर पोर्ट पर एक होस्ट है। कितने टकराव डोमेन और ब्रॉडकास्ट डोमेन हैं?

A1 टकराव डोमेन, 8 ब्रॉडकास्ट डोमेन
B1 टकराव डोमेन, 1 ब्रॉडकास्ट डोमेन
C8 टकराव डोमेन, 8 ब्रॉडकास्ट डोमेन
D8 टकराव डोमेन, 1 ब्रॉडकास्ट डोमेन

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 8 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/248 subnets

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.217.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 29 होस्ट, B: 62 होस्ट, C: 53 होस्ट, D: 9 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN D के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 29B: 62C: 53D: 9

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −37

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = −37

उत्तर

N = −37

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 255

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

OR वहाँ 1 देता है जहाँ कम से कम एक बिट 1 हो।

0101 0110

OR 1111 1001

= 1111 1111

परिणाम का मान

1111 1111₂ = 255

उत्तर

R = 255

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: b ∧ ¬(a ∧ c)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = b, b = a ∧ c

निहितार्थ का निषेध

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = b ∧ ¬(a ∧ c)

उत्तर

b ∧ ¬(a ∧ c)

यदि मान्यता विरोधाभास की ओर ले जाए, तो निहितार्थ सत्य होना चाहिए।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 4

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

स्तंभ

a ∨ b; c ∨ b; (a ∨ b) ↔ (c ∨ b); ¬a; d ∧ ¬a; ¬d; c ∧ ¬d; (d ∧ ¬a) ∧ (c ∧ ¬d); ((a ∨ b) ↔ (c ∨ b)) ↔ ((d ∧ ¬a) ∧ (c ∧ ¬d))

a पर बाँटें

a = 1: 2

a = 0: 2

N = 2 + 2 = 4

उत्तर

N = 4

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(C′ + D′)

(A′ + B + D)

(A + B′ + C′)

न्यूनतम POS रूप

F = (C′ + D′)(A′ + B + D)(A + B′ + C′)

N = 3

उत्तर

N = 3

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 6

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

6 फ़्लिप-फ़्लॉप के लिए अनुक्रम

100000 → 010000 → 001000 → 000100 → 000010 → 000001

अवस्थाओं की संख्या

N = 6

उत्तर

N = 6

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 17

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

27 का प्रतिलोम

r = 29, t = 0

r = 27, q = 1, t = 1

r = 2, q = 13, t = −1

r = 1, q = 2, t = 14

27⁻¹ ≡ 14 (mod 29)

हल करें

x ≡ 14·24 = 336 ≡ 17 (mod 29)

जाँच: 27·17 = 459 ≡ 24 (mod 29)

उत्तर

x = 17

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 46

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

13 = 8 + 4 + 1

71¹ ≡ 71 (mod 85)

71² ≡ 26 (mod 85)

D · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 52

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

CE (2): लें

BD (3): लें

DE (4): लें

GB (7): लें

GD (9): छोड़ें, चक्र बनता है

GE (13): छोड़ें, चक्र बनता है

GC (15): छोड़ें, चक्र बनता है

D · 8 टकराव डोमेन, 1 ब्रॉडकास्ट डोमेन

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 30

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

2³ = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

प्रति सबनेट होस्ट

2⁵ − 2 = 30

उत्तर

H = 30

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 160

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

B: 62 होस्ट → 2⁶ = 64 (/26)

C: 53 होस्ट → 2⁶ = 64 (/26)

A: 29 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

D: 9 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

B: .0 – .63

C: .64 – .127

A: .128 – .159

D: .160 – .175

उत्तर

x = 160

LAN D: 192.168.217.160/28।

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