कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
दो के पूरक में स्थानीय मान0−12806413211618141201

8-बिट पैटर्न 0011 1110 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

0011 11108 bit
N =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
बिट सेट करने के लिए उन पर क्लिक करें012806403201608040201

बिट को 0011 1011 >> 2 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0011 1011>> 2
R =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
¬b ∧ c¬b ∧ ¬c¬b ∨ ¬cb ∨ ¬c

कौन-सा सूत्र ¬(b ∨ c) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬(b ∨ c)
  1. 1¬b ∧ c
  2. 2¬b ∧ ¬c
  3. 3¬b ∨ ¬c
  4. 4b ∨ ¬c
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
∀x ∃y ¬R(x, y)∀x ∀y ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)∃y ∀x ¬R(x, y)

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∀x ∃y R(x, y) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∀x ∃y R(x, y)
  1. 1∀x ∃y ¬R(x, y)
  2. 2∀x ∀y ¬R(x, y)
  3. 3∃x ∀y ¬R(x, y)
  4. 4∃y ∀x ¬R(x, y)
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABC000111100101324576

F = A′BC + B′C′ + A′BC′ + AB′C को उसके न्यूनतम गुणनफलों के योग रूप में सरल करें। सरल किए गए व्यंजक में कितने लिटरल L हैं?

F = A′BC + B′C′ + A′BC′ + AB′C
L =
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
CLKD123456

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड D फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और 6 आरोही क्लॉक कोरों पर दिखाए गए निवेश पाता है। Q कितनी बार N अवस्था बदलता है?

Q₀ = 0D
N =
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात करें जिसके लिए x ≡ 2 (mod 6) और x ≡ 6 (mod 7)।

x ≡ 2 (mod 6)x ≡ 6 (mod 7)
x =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (259, 17)d = ?

एक RSA कुंजी अभाज्य p = 7 और q = 37 तथा सार्वजनिक घातांक e = 17 का उपयोग करती है। निजी घातांक d ज्ञात करें (0 < d < φ(n))।

p = 7q = 37e = 17
d =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

  1. Aकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके
  2. Bकेवल यादृच्छिक इनपुट
  3. Cओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
  4. Dकेवल एक लूप
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बाइनरी हीप के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक एप्लिकेशन को तेज़ खोज चाहिए और कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में सूचीबद्ध करना तथा रेंज प्रश्नों के उत्तर देना भी चाहिए। कौन-सी संरचना सबसे उपयुक्त है?

  1. Aअनसॉर्टेड लिंक्ड लिस्ट
  2. Bस्टैक
  3. Cहैश टेबल
  4. Dसंतुलित बाइनरी सर्च ट्री
12.डेटा संरचनाएँकठिन

हैश टेबल के सही काम करने के लिए हैश और समानता (equality) को कौन-सा नियम मानना चाहिए?

  1. Aअलग कुंजियों के हैश मान अलग होने चाहिए
  2. Bसमान हैश मानों का अर्थ है समान कुंजियाँ
  3. Cसमान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
  4. Dहैश मान अभाज्य संख्याएँ होने चाहिए
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 2 शीर्ष, घात 5 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
5214910714913ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

डर्टी रीड (dirty read) क्या है?

  1. Aएक ही पंक्ति दो बार पढ़कर समान मान पाना
  2. BWHERE क्लॉज़ के बिना डेटा पढ़ना
  3. Cकिसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ
  4. Dक्षतिग्रस्त डिस्क से डेटा पढ़ना
16.डेटाबेस और SQLकठिन

ऑन-कॉल दो डॉक्टर दोनों जाँचते हैं कि दूसरा अभी भी ऑन-कॉल है, फिर दोनों एक ही समय पर साइन-ऑफ़ करते हैं। स्नैपशॉट आइसोलेशन यहाँ अब भी कौन-सी विसंगति होने दे सकता है?

  1. Aराइट स्क्यू (write skew)
  2. Bडर्टी राइट
  3. Cडर्टी रीड
  4. Dएक ट्रांज़ैक्शन के भीतर नॉन-रिपीटेबल रीड
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा एकल प्रीफ़िक्स 192.168.0.0/24 और 192.168.1.0/24 दोनों को सारांशित (summarise) करता है?

  1. A192.168.0.0/22
  2. B192.168.0.0/25
  3. C192.168.1.0/23
  4. D192.168.0.0/23
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

Nyquist सूत्र के अनुसार, 4 सिग्नल स्तरों का उपयोग करने वाले शोर-रहित 3 kHz चैनल की अधिकतम बिट दर क्या है?

  1. A6 kbit/s
  2. B24 kbit/s
  3. C3 kbit/s
  4. D12 kbit/s
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/24 → /2611111111111111111111111111000000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 3 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/243 subnets
H =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन
अंतिम ऑक्टेट = 113012816413211608040211नेटवर्कहोस्ट

एक होस्ट का पता 10.20.216.113/30 है। उसके नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.216.113/30
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = 62

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62

उत्तर

N = 62
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 14

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

2 से दाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 2 स्थान दाईं ओर खिसकता है; दाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और बाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

0011 1011 >> 2
= 0000 1110

परिणाम का मान

0000 1110₂ = 14

उत्तर

R = 14
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬b ∧ ¬c

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

डी मॉर्गन: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b। ∨, ∧ बन जाता है और दोनों भागों का निषेध होता है।
¬(b ∨ c) ≡ ¬b ∧ ¬c

सत्यमान सारणी से जाँच

b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1
b = 1, c = 0: 0 | 0 0 1 1
b = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 0
b = 0, c = 0: 1 | 0 1 1 1

उत्तर

¬b ∧ ¬c

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∃x ∀y ¬R(x, y)

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

उत्तर

∃x ∀y ¬R(x, y)

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 6

बूलीय बीजगणित: व्यंजकों को सरल करने वाले नियम हैं X + X′ = 1 और X·X′ = 0, X + X = X, अवशोषण X + X·Y = X, संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y और सहमति प्रमेय XY + X′Z + YZ = XY + X′Z। डी मॉर्गन के नियम (X·Y)′ को X′ + Y′ में और (X + Y)′ को X′·Y′ में बदलते हैं। कार्नो मानचित्र इन नियमों को चित्रात्मक रूप से लगाता है: दो पड़ोसी खानों का हर समूह XY + XY′ = X का एक उपयोग है।

व्यंजक के मिनटर्म

A′BC → m(3)
B′C′ → m(0, 4)
A′BC′ → m(2)
AB′C → m(5)
ABC00011110011001131214150706

समूहित करें और पढ़ें

F = B′C′ + A′B + AB′

लिटरल गिनें

L = 6

उत्तर

L = 6

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

D फ़्लिप-फ़्लॉप हर आरोही कोर पर D को कॉपी करता है: Q⁺ = D।

1: D = 1 → Q = 1
2: D = 1 → Q = 1
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1

परिवर्तन गिनें

0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 0 → 1
N = 5

उत्तर

N = 5
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 20

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

पहली सर्वांगसमता

x = 2 + 6k

दूसरी सर्वांगसमता

2 + 6k ≡ 6 (mod 7) → 6k ≡ 4 (mod 7)
k ≡ 6·4 ≡ 3 (mod 7)

परिणाम

x = 2 + 6·3 = 20
x = 20
जाँच: 20 mod 6 = 2, 20 mod 7 = 6

उत्तर

x = 20
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: d = 89

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

मापांक और टोशेंट

n = 7·37 = 259
φ(n) = 6·36 = 216

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

r = 216, t = 0
r = 17, q = 12, t = 1
r = 12, q = 1, t = −12
r = 5, q = 2, t = 13
r = 2, q = 2, t = −38
r = 1, q = 2, t = 89

निजी घातांक

d = 89
जाँच: 17·89 = 1513 = 7·216 + 1

उत्तर

d = 89
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

C · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O((V + E) log V)

यह उत्तर क्यों है

V extract-min और अधिकतम E decrease-key ऑपरेशन होते हैं, हर एक O(log V); फ़िबोनाची हीप इसे O(E + V log V) तक सुधारता है।

उत्तर

C · O((V + E) log V)
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · संतुलित बाइनरी सर्च ट्री

यह उत्तर क्यों है

संतुलित BST, O(log n) खोज देता है और कुंजियों को क्रम में रखता है, इसलिए इन-ऑर्डर ट्रैवर्सल और रेंज प्रश्न आसान हैं; हैश टेबल कुंजियों को बिखेर देती है।

उत्तर

D · संतुलित बाइनरी सर्च ट्री
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

यह उत्तर क्यों है

यदि दो समान कुंजियों के हैश अलग हों, तो वे अलग बकेटों में संग्रहीत होंगी और खोज विफल होगी; असमान कुंजियाँ फिर भी एक हैश साझा कर सकती हैं।

उत्तर

C · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 22

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 48 = 2(L + 14) − 2
L = 22

उत्तर

L = 22

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 35

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 5
B (5): C: 7, D: 19, G: 12
C (7)
G (12): E: 25
D (19)
E (25): F: 35
F (35)

सबसे छोटा पथ

A → B → G → E → F
d(F) = 35

उत्तर

d(F) = 35
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: C · किसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ

यह उत्तर क्यों है

डर्टी रीड बिना कमिट किए ऐसे परिवर्तन देखता है जो पूर्ववत हो सकते हैं; यह केवल read uncommitted लेवल पर संभव है।

उत्तर

C · किसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: A · राइट स्क्यू (write skew)

यह उत्तर क्यों है

स्नैपशॉट आइसोलेशन में दोनों ट्रांज़ैक्शन पुरानी स्थिति देखते हैं और अलग-अलग पंक्तियाँ बदलते हैं, इसलिए कोई लेखन संघर्ष नहीं पकड़ा जाता; serializable आइसोलेशन इसे रोकता है।

उत्तर

A · राइट स्क्यू (write skew)
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · 192.168.0.0/23

यह उत्तर क्यों है

0 और 1 तीसरे ऑक्टेट के अंतिम बिट को छोड़कर सभी बिट साझा करते हैं, इसलिए 192.168.0.0 से शुरू होने वाला एक बिट कम प्रीफ़िक्स (/23) दोनों को ठीक-ठीक कवर करता है।

उत्तर

D · 192.168.0.0/23
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · 12 kbit/s

यह उत्तर क्यों है

2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12,000 bit/s। अधिक स्तर दर बढ़ाते हैं, पर शोर सीमित करता है कि कितने स्तरों को अलग पहचाना जा सकता है।

उत्तर

D · 12 kbit/s
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 62

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

22 = 4 ≥ 3 → b = 2, /26

प्रति सबनेट होस्ट

26 − 2 = 62

उत्तर

H = 62
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 112

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

22 = 4

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊113/4⌋·4 = 112
ब्रॉडकास्ट: 112 + 4 − 1 = 115
उपयोगी होस्ट: 113 … 114

उत्तर

x = 112

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