कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−112 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −1128 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1011 1101 << 2 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1011 1101<< 2

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र b ↔ c के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

b ↔ c

1(b → c) ∨ (c → b)
2(b → c) ∧ (¬c → ¬b)
3b ∧ c
4(b → c) ∧ (c → b)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य (r ∧ p) → q; r; ¬q दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

(r ∧ p) → qr¬q

1¬p
2p ∧ ¬q
3q
4p

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 7) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 7)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक 4-बिट शिफ़्ट रजिस्टर Q₃Q₂Q₁Q₀ में 0110 है। हर क्लॉक कोर पर बिट एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ खो जाता है) और सीरियल निवेश Q₃ में प्रवेश करता है। सीरियल निवेश 4 कोरों पर 0, 1, 0, 0 है। अंतिम अवस्था Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ दशमलव संख्या में दें।

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 01100, 1, 0, 0

Q =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

11x ≡ 12 (mod 47) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 47।

11x ≡ 12 (mod 47)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

27x ≡ 18 (mod 30) हल करें। सबसे छोटा धनात्मक हल x दें।

27x ≡ 18 (mod 30)

x =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

फ़्लॉयड–वॉर्शल एल्गोरिदम क्या गणना करता है, और कितनी तेज़ी से?

Aशीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
Bएक मिनिमम स्पैनिंग ट्री, O(E log V) में
Cएक टोपोलॉजिकल क्रम, O(V²) में
Dएक स्रोत शीर्ष से बाकी सभी तक सबसे छोटे पथ, O(V + E) में

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बाइनरी हीप के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम का रनिंग टाइम क्या है?

AO(V + E)
BO(V × E)
CO((V + E) log V)
DO(V³)

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

क्षमता n वाले ऐरे में संग्रहीत सर्कुलर क्यू में इंडेक्स i के बाद अगली स्थिति कैसे निकाली जाती है?

Ai + 1
B(i − 1) mod n
C2i + 1
D(i + 1) mod n

12.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रुस्कल के मिनिमम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम में union-find संरचना का उपयोग किसलिए होता है?

Aयह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
Bखोज के दौरान हर शीर्ष की स्रोत से वर्तमान दूरी संग्रहीत करने के लिए
Cप्रारंभिक शीर्ष चुनने के लिए
Dकिनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करने के लिए

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 5 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 5

L =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 3 की कितनी वॉक E से C तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3

N =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

किसी पंक्ति के लिए WHERE EXISTS (subquery) कब सत्य होता है?

Aजब सबक्वेरी शून्य से बड़ी संख्या लौटाए
Bजब सबक्वेरी कोई NULL मान न लौटाए
Cजब सबक्वेरी ठीक एक पंक्ति लौटाए
Dजब सबक्वेरी कम से कम एक पंक्ति लौटाए

16.डेटाबेस और SQLकठिन

टेबल b के कॉलम y में मान 1, 2 और NULL हैं। SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b) क्या लौटाता है?

Aa की केवल वे पंक्तियाँ जहाँ x NULL है
Ba की वे पंक्तियाँ जहाँ x, 1 या 2 नहीं है
Cकोई पंक्ति नहीं
Da की हर पंक्ति

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

TLS आमतौर पर असममित (asymmetric) और सममित (symmetric) क्रिप्टोग्राफ़ी का उपयोग कैसे करता है?

Aसममित विधियाँ कुंजियों पर सहमति और प्रमाणीकरण करती हैं; असममित सिफ़र सारा डेटा एन्क्रिप्ट करते हैं
Bएक निश्चित साझा पासवर्ड के साथ केवल सममित क्रिप्टोग्राफ़ी का उपयोग होता है
Cअसममित विधियाँ कुंजियों पर सहमति और प्रमाणीकरण करती हैं; सममित सिफ़र डेटा एन्क्रिप्ट करते हैं
Dपूरे समय केवल असममित क्रिप्टोग्राफ़ी का उपयोग होता है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक PC अपने सबनेट के प्रिंटरों तक पहुँच सकता है पर उससे आगे कुछ भी नहीं। उसका IP पता और मास्क सही हैं। सबसे संभावित दोष क्या है?

Aइंटरनेट पर डुप्लिकेट MAC पता
BDNS सर्वर सेटिंग में दोष
Cडिफ़ॉल्ट गेटवे गायब या ग़लत है
DTCP विंडो बहुत छोटी है

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 30 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/2430 subnets

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.184.233/27 है। उसके नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.184.233/27

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 144

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

112 = 0111 0000

उलटा हुआ: 1000 1111

+1 → 1001 0000

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1001 0000₂ = 256 − 112 = 144

उत्तर

U = 144

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 244

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

2 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 2 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

1011 1101 << 2

= 1111 0100

परिणाम का मान

1111 0100₂ = 244

उत्तर

R = 244

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (b → c) ∧ (c → b)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

a ↔ b का अर्थ है कि निहितार्थ दोनों दिशाओं में सत्य है: (a → b) ∧ (b → a)।

b ↔ c ≡ (b → c) ∧ (c → b)

सत्यमान सारणी से जाँच

b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

b = 1, c = 0: 0 | 1 0 0 0

b = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0

b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1

उत्तर

(b → c) ∧ (c → b)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬p

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

p = 0, q = 0, r = 1: ¬p = 1, p ∧ ¬q = 0, q = 0, p = 0

निष्कर्ष

¬p (संयोजन के साथ मोडस टोलेंस)

उत्तर

¬p

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B + C)

(A′ + C)

(A′ + B)

(A + B′ + C′)

न्यूनतम POS रूप

F = (B + C)(A′ + C)(A′ + B)(A + B′ + C′)

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 2

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद की अवस्था

0110 → 0011 → 1001 → 0100 → 0010

दशमलव मान

0010₂ = 2

उत्तर

Q = 2

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 31

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

11 का प्रतिलोम

r = 47, t = 0

r = 11, q = 4, t = 1

r = 3, q = 3, t = −4

r = 2, q = 1, t = 13

r = 1, q = 2, t = −17

11⁻¹ ≡ 30 (mod 47)

हल करें

x ≡ 30·12 = 360 ≡ 31 (mod 47)

जाँच: 11·31 = 341 ≡ 12 (mod 47)

उत्तर

x = 31

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 4

gcd से भाग दें

gcd(27, 30) = 3

9x ≡ 6 (mod 10)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

9⁻¹ ≡ 9 (mod 10) → x ≡ 4 (mod 10)

30 के मापांक में हल

x ∈ {4, 14, 24}

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 15 = 2(L + 3) − 2

L = 11

उत्तर

L = 11

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 6

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 0 0

C: 1 1 0 0 1 0

C · डिफ़ॉल्ट गेटवे गायब या ग़लत है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 6

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

2⁵ = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

प्रति सबनेट होस्ट

2³ − 2 = 6

उत्तर

H = 6

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 224

ब्लॉक आकार

2⁵ = 32

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊233/32⌋·32 = 224

ब्रॉडकास्ट: 224 + 32 − 1 = 255

उपयोगी होस्ट: 225 … 254

उत्तर

x = 224

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