कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −83 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −838 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

एक असंपीड़ित छवि 640 × 480 पिक्सेल की है, प्रति पिक्सेल 32 बिट। यह KiB में (1 KiB = 1024 बाइट) कितनी मेमोरी M लेती है?

640 × 480 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र r ∨ (q ∧ p) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

r ∨ (q ∧ p)

1(r ∨ q) ∧ (r ∨ p)
2(r ∨ q) ∧ p
3(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)
4r ∧ (q ∨ p)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य p → q; ¬q दिए गए हैं। इनसे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है? उस पर क्लिक करें।

p → q¬q

1¬p ∧ q
2¬p
3q
4p

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C) = Σm(0, 5, 7) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C) = Σm(0, 5, 7)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 14) + d(2, 6) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने लिटरल L हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 14) + d(2, 6)

L =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक x ज्ञात करें जिसके लिए x ≡ 1 (mod 3) और x ≡ 2 (mod 10)।

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 10)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

73 अभाज्य है। 6⁷⁵⁵²³ mod 73 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 73k = 75523

6⁷⁵⁵²³ mod 73 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कई लाइब्रेरी सॉर्टिंग रूटीन बहुत छोटे सबऐरे के लिए इंसर्शन सॉर्ट पर क्यों चली जाती हैं?

Aबड़े इनपुट पर इंसर्शन सॉर्ट किसी भी अन्य सॉर्टिंग एल्गोरिदम से कम मेमोरी उपयोग करता है
Bइंसर्शन सॉर्ट वर्स्ट केस में O(n log n) है
Cरिकर्सिव एल्गोरिदम 10 से कम तत्वों वाले ऐरे नहीं सँभाल सकते
Dइंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

करात्सुबा गुणन T(n) = 3T(n/2) + O(n) को संतुष्ट करता है। इसका हल क्या है?

AΘ(n²)
BΘ(n^{log₂ 3}), लगभग n^1.585
CΘ(n log n)
DΘ(n³)

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

आपके पास एक लिस्ट के बीच के नोड का संदर्भ है। किस लिस्ट में आप उसे O(1) में हटा सकते हैं?

Aडायनेमिक ऐरे
Bसिंगली लिंक्ड लिस्ट
Cडबली लिंक्ड लिस्ट
Dसॉर्टेड ऐरे

12.डेटा संरचनाएँकठिन

रूट 50, बाएँ सबट्री 30 (चाइल्ड 20, 40) और दाएँ सबट्री 70 (चाइल्ड 60, 80) वाले BST में रूट को इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी का उपयोग करके हटाया जाता है। कौन-सी कुंजी नया रूट बनती है?

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₈ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₈

H =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8

W =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

SQL इंजेक्शन (SQL injection) क्या है?

Aएक अकेले INSERT स्टेटमेंट से कई पंक्तियाँ जल्दी डालने की विधि
Bडेटाबेस बैकअप की एक तकनीक
Cइंडेक्स जोड़ने का एक तरीका
Dएक हमला जिसमें उपयोगकर्ता इनपुट SQL क्वेरी की संरचना बदल देता है

16.डेटाबेस और SQLकठिन

R(A, B, C, D) में फ़ंक्शनल डिपेंडेंसी A → B और C → D हैं। कैंडिडेट की क्या है?

A{B, D}
B{C}
C{A}
D{A, C}

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

ARP क्या करता है?

Aडोमेन नामों को resolve करता है
Bस्थानीय नेटवर्क पर किसी IP पते से संबंधित MAC पता खोजता है
Cइंटरनेट पर पैकेट रूट करता है
Dस्थानीय नेटवर्क से जुड़ने पर होस्टों को अपने आप IP पते आवंटित करता है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

LAN पर एक हमलावर गेटवे के IP पते का दावा करते हुए जाली ARP उत्तर भेजता है। संभावित परिणाम क्या है?

Aपीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है
Bहर राउटर पर गेटवे का IP पता स्थायी रूप से हमलावर के पते में बदल जाता है
Cस्विच अपने सभी पोर्ट बंद कर देता है
Dपूरे इंटरनेट पर सभी DNS क्वेरी विफल हो जाती हैं

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 1572 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

1572 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.216.138/25 है। उसके सबनेट के अंतिम उपयोगी होस्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.216.138/25

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 173

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

83 = 0101 0011

उलटा हुआ: 1010 1100

+1 → 1010 1101

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1010 1101₂ = 256 − 83 = 173

उत्तर

U = 173

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: M = 1200 KiB

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

बिट और बाइट

640·480·32 = 9830400 bit = 1228800 B

KiB में बदलें

1228800/1024 = 1200 KiB

उत्तर

M = 1200 KiB

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (r ∨ q) ∧ (r ∨ p)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

∨, ∧ पर वितरित होता है: a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

r ∨ (q ∧ p) ≡ (r ∨ q) ∧ (r ∨ p)

सत्यमान सारणी से जाँच

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

उत्तर

(r ∨ q) ∧ (r ∨ p)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬p

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

वे पंक्तियाँ जिनमें सभी आधार-वाक्य सत्य हैं

p = 0, q = 0: ¬p ∧ q = 0, ¬p = 1, q = 0, p = 0

निष्कर्ष

¬p (मोडस टोलेंस)

उत्तर

¬p

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 2

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

x = 22

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 6⁷⁵⁵²³ mod 73 = 25

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

A · 60

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 50

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BD (4): लें

DF (7): लें

DE (10): लें

A · पीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 21

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1572

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1572 → h = 11

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 11 = 21

उत्तर

p = /21

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 254

ब्लॉक आकार

2⁷ = 128

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊138/128⌋·128 = 128

ब्रॉडकास्ट: 128 + 128 − 1 = 255

उपयोगी होस्ट: 129 … 254

उत्तर

x = 254

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