कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

8-बिट पैटर्न 1110 0110 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1110 01108 bit

N =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1000 0111 XOR 0110 1110 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1000 0111XOR0110 1110

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र (a ∨ c) → b के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

(a ∨ c) → b

1(a → b) ∨ (c → b)
2(a ∧ c) → b
3a ∨ (c → b)
4(a → b) ∧ (c → b)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

सत्यमान सारणी की 16 पंक्तियों में से कितनी (p → (q ∧ r)) ↔ (r ∧ ¬s) को सत्य बनाती हैं? इस संख्या को N कहें।

(p → (q ∧ r)) ↔ (r ∧ ¬s)

N =

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F = AB′C + A′C′ + ABC′ + A′BC′ को उसके न्यूनतम गुणनफलों के योग रूप में सरल करें। सरल किए गए व्यंजक में कितने लिटरल L हैं?

F = AB′C + A′C′ + ABC′ + A′BC′

L =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड T फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0T

1क्लॉक कोर 1
2क्लॉक कोर 2
3क्लॉक कोर 3
4क्लॉक कोर 4
5क्लॉक कोर 5
6क्लॉक कोर 6
7क्लॉक कोर 7

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

11 के मापांक में 9 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 11 और 9·x ≡ 1 (mod 11)।

a = 9n = 11

9⁻¹ mod 11 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी में p = 37, q = 41 और e = 13 हैं। सिफरटेक्स्ट c = 399 को डिक्रिप्ट करें: संदेश m ज्ञात करें।

p = 37q = 41e = 13c = 399

m =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

प्रिम का एल्गोरिदम मिनिमम स्पैनिंग ट्री कैसे बनाता है?

Aयह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
Bयह सभी किनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करता है और हर किनारे को तब तक जोड़ता है जब तक वह फ़ॉरेस्ट में चक्र (cycle) न बनाए
Cयह ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च चलाकर BFS ट्री रखता है
Dयह सबसे महँगा किनारा तब तक हटाता है जब तक कोई चक्र न बचे

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1) कार्य करें — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(n √n)

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में अधिकतम संभव लोड फ़ैक्टर क्या है?

A0.5
B2
Cकोई अधिकतम नहीं है
D1

12.डेटा संरचनाएँकठिन

AVL ट्री में एक कुंजी डालने से किसी नोड का बायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो जाता है, और नई कुंजी उसके बाएँ चाइल्ड के बाएँ सबट्री में गई (left-left स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

Aअसंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
Bचाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
Cअसंतुलित नोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
Dनोड और उसके चाइल्ड का रंग बदलना

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 2 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

2 × deg 43 × deg 5

L =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 6 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 6

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

GRANT SELECT ON employees TO alice क्या करता है?

Aalice को employees टेबल की पंक्तियाँ अपडेट और हटाने की अनुमति देता है
Bउपयोगकर्ता alice को employees टेबल पढ़ने की अनुमति देता है
Calice को डेटाबेस का स्वामी बनाता है
Demployees टेबल को alice तक कॉपी करता है

16.डेटाबेस और SQLकठिन

R को R1 और R2 में विघटित करना कब निश्चित रूप से लॉसलेस होता है?

Aजब R1 और R2 में कॉलमों की संख्या समान होती है
Bजब R1 और R2 के साझा एट्रिब्यूट R1 या R2 की सुपरकी बनाते हैं
Cजब R1 और R2 में कोई साझा एट्रिब्यूट नहीं होता
Dजब R का हर एट्रिब्यूट R1 और R2 दोनों में होता है

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक राउटर के पास 10.0.0.0/8 और 10.1.0.0/16 के मार्ग हैं। 10.1.5.5 के लिए पैकेट पर वह कौन-सा मार्ग उपयोग करेगा?

A10.0.0.0/8, क्योंकि यह /16 की तुलना में अधिक पते कवर करता है
Bदोनों मार्ग, ट्रैफ़िक को बराबर बाँटते हुए
C10.0.0.0/8, क्योंकि इसे पहले जोड़ा गया था
D10.1.0.0/16, क्योंकि यह सबसे लंबा मेल खाने वाला प्रीफ़िक्स है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

LAN पर एक हमलावर गेटवे के IP पते का दावा करते हुए जाली ARP उत्तर भेजता है। संभावित परिणाम क्या है?

Aस्विच अपने सभी पोर्ट बंद कर देता है
Bहर राउटर पर गेटवे का IP पता स्थायी रूप से हमलावर के पते में बदल जाता है
Cपीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है
Dपूरे इंटरनेट पर सभी DNS क्वेरी विफल हो जाती हैं

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 10.225.224.0/20 को उपसर्ग /22 वाले समान सबनेट में बाँटा गया है। कितने सबनेट N हैं?

10.225.224.0/20/22

N =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक राउटर के पास इन नेटवर्कों के लिए रूट हैं: 10.31.115.0/24, 10.31.116.0/24, 10.31.117.0/24, 10.31.118.0/24, 10.31.119.0/24, 10.31.120.0/24, 10.31.121.0/24, 10.31.122.0/24। इन सबको कवर करने वाले एकल सारांश रूट की सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p क्या है?

10.31.115.0/24 … 10.31.122.0/24

p =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −26

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 32 + 4 + 2 = −26

उत्तर

N = −26

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 233

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

XOR वहाँ 1 देता है जहाँ दोनों बिट अलग हों।

1000 0111

XOR 0110 1110

= 1110 1001

परिणाम का मान

1110 1001₂ = 233

उत्तर

R = 233

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (a → b) ∧ (c → b)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

(a ∨ b) → c में जब भी a या b में से कोई भी सत्य हो तब c चाहिए: (a → c) ∧ (b → c)।

(a ∨ c) → b ≡ (a → b) ∧ (c → b)

सत्यमान सारणी से जाँच

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 1 0

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 1 1 1 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

उत्तर

(a → b) ∧ (c → b)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 8

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

स्तंभ

q ∧ r; p → (q ∧ r); ¬s; r ∧ ¬s; (p → (q ∧ r)) ↔ (r ∧ ¬s)

p पर बाँटें

p = 1: 6

p = 0: 2

N = 6 + 2 = 8

उत्तर

N = 8

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 7

बूलीय बीजगणित: व्यंजकों को सरल करने वाले नियम हैं X + X′ = 1 और X·X′ = 0, X + X = X, अवशोषण X + X·Y = X, संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y और सहमति प्रमेय XY + X′Z + YZ = XY + X′Z। डी मॉर्गन के नियम (X·Y)′ को X′ + Y′ में और (X + Y)′ को X′·Y′ में बदलते हैं। कार्नो मानचित्र इन नियमों को चित्रात्मक रूप से लगाता है: दो पड़ोसी खानों का हर समूह XY + XY′ = X का एक उपयोग है।

व्यंजक के मिनटर्म

AB′C → m(5)

A′C′ → m(0, 2)

ABC′ → m(6)

A′BC′ → m(2)

समूहित करें और पढ़ें

F = BC′ + A′C′ + AB′C

लिटरल गिनें

L = 7

उत्तर

L = 7

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 3

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

T फ़्लिप-फ़्लॉप T = 1 के साथ हर आरोही कोर पर टॉगल करता है और T = 0 के साथ स्थिर रहता है।

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 0 → Q = 1

3: T = 1 → Q = 0

4: T = 1 → Q = 1

5: T = 0 → Q = 1

6: T = 0 → Q = 1

7: T = 1 → Q = 0

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 3

उत्तर

क्लॉक कोर 3

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 9⁻¹ mod 11 = 5

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·9 (mod 11) के रूप में लिखा जाता है।

r = 11, t = 0

r = 9, q = 1, t = 1

r = 2, q = 4, t = −1

r = 1, q = 2, t = 5

व्युत्क्रम

1 ≡ 5·9 (mod 11)

x = 5

जाँच: 9·5 = 45 = 4·11 + 1

उत्तर

9⁻¹ mod 11 = 5

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: m = 1176

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

निजी घातांक

n = 1517, φ(n) = 1440

d = 13⁻¹ mod 1440 = 997

बार-बार वर्ग करके डिक्रिप्ट करें

997 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 1

399¹ ≡ 399 (mod 1517)

399² ≡ 1433 (mod 1517)

399⁴ ≡ 988 (mod 1517)

399⁸ ≡ 713 (mod 1517)

399¹⁶ ≡ 174 (mod 1517)

399³² ≡ 1453 (mod 1517)

399⁶⁴ ≡ 1062 (mod 1517)

399¹²⁸ ≡ 713 (mod 1517)

399²⁵⁶ ≡ 174 (mod 1517)

399⁵¹² ≡ 1453 (mod 1517)

399⁹⁹⁷ ≡ 399·988·1453·1062·713·174·1453 ≡ 1176 (mod 1517)

संदेश

m = 1176

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 23 = 2(L + 5) − 2

L = 15

उत्तर

L = 15

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: G

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 4, C: 3

2. C (3): E: 9, G: 13

3. B (4): D: 10

4. E (9)

5. D (10): F: 22

6. G (13)

ARP स्पूफ़िंग होस्टों के ARP कैश में गेटवे IP के लिए हमलावर का MAC डाल देती है। तब हमलावर ट्रैफ़िक पढ़ सकता है, बदल सकता है या गिरा सकता है; dynamic ARP inspection इसे रोकने में मदद करता है।

उत्तर

C · पीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उधार लिए गए बिट

22 − 20 = 2

सबनेटों की संख्या

N = 2² = 4

उत्तर

N = 4

हर /22 सबनेट में 2¹⁰ − 2 = 1022 उपयोगी होस्ट हैं।

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 20

रूट सारांशीकरण: सारांश रूट a.b.c.0/p उन सभी नेटवर्कों को कवर करता है जिनके पहले p बिट मेल खाते हैं। पहले और अंतिम नेटवर्क के भिन्न ऑक्टेट को बाइनरी में लिखें; साझा अग्रणी बिटों की संख्या, उससे पहले के ऑक्टेटों के बिट जोड़कर, सबसे लंबा सारांश उपसर्ग है।

बिटों की तुलना करें

115 = 01110011

122 = 01111010

साझा अग्रणी बिट: 4

उपसर्ग लंबाई

p = 16 + 4 = 20

उत्तर

p = /20

सारांश रूट: 10.31.112.0/20 (यह 8 ऐसे नेटवर्क भी कवर करता है जो सूची में नहीं हैं)।

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals