कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

8-बिट पैटर्न 1110 1101 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1110 11018 bit

N =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1011 0100 << 1 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1011 0100<< 1

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र (b ∧ c) → a के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

(b ∧ c) → a

1(b → a) ∧ (c → a)
2b → (c → a)
3(b → c) → a
4b ∧ (c → a)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∀x (F(x) ∨ G(x))

1∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
2∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
4∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = C′, I₁ = 1, I₂ = C, I₃ = 1 से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = C′I₁ = 1I₂ = CI₃ = 1

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड D फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और 6 आरोही क्लॉक कोरों पर दिखाए गए निवेश पाता है। Q कितनी बार N अवस्था बदलता है?

Q₀ = 0D

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

29 के मापांक में 3 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 29 और 3·x ≡ 1 (mod 29)।

a = 3n = 29

3⁻¹ mod 29 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

{0, 1, …, 21} में 10x ≡ 14 (mod 22) के कितने हल N हैं?

10x ≡ 14 (mod 22)

N =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

Aऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
Bयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत
Cसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
Dपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

किसी मैक्सिमल मैचिंग के हर किनारे के दोनों सिरे लेने से एक वर्टेक्स कवर मिलता है। यह कवर कितना अच्छा है?

Aन्यूनतम का अधिकतम log n गुना
Bहमेशा एक मिनिमम वर्टेक्स कवर
Cमिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना
Dइष्टतम की तुलना में अज्ञात गुणवत्ता का

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री का in-order ट्रैवर्सल कुंजियों को किस क्रम में देखता है?

Aहमेशा अवरोही क्रम में
Bआरोही क्रमबद्ध क्रम में
Cइंसर्शन के क्रम में
Dस्तर क्रम (level order) में

12.डेटा संरचनाएँकठिन

ब्लूम फ़िल्टर "क्या यह तत्व सेट में है?" का उत्तर किस प्रकार देता है?

Aकेवल संख्याओं के लिए उत्तर
Bसंभावित फ़ॉल्स नेगेटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स पॉज़िटिव नहीं
Cसंभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
Dहमेशा सटीक उत्तर

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 3 शीर्ष, घात 5 वाले 2 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 33 × deg 42 × deg 52 × deg 2

L =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 3 की कितनी बंद वॉक E से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3

N =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कौन-सी क्वेरी customers टेबल में अलग-अलग शहरों की संख्या लौटाती है?

ASELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers
BSELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
CSELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city
DSELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers

16.डेटाबेस और SQLकठिन

एक रिपोर्टिंग डेटाबेस जॉइन से बचने के लिए ग्राहक नामों को orders टेबल में कॉपी करता है। इस डीनॉर्मलाइज़ेशन की मुख्य लागत क्या है?

Aग्राहक डेटा बदलने पर अतिरिक्त प्रतियों को संगत रखना पड़ता है
Bप्राइमरी की का अब उपयोग नहीं हो सकता
Corders टेबल पर क्वेरी धीमी हो जाती हैं
Dडेटाबेस अब इंडेक्स का उपयोग नहीं कर सकता

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

स्टेटफ़ुल फ़ायरवॉल एक साधारण पैकेट फ़िल्टर से कैसे भिन्न है?

Aयह कनेक्शनों को ट्रैक करता है और स्थापित सेशनों से संबंधित उत्तरों को अनुमति देता है
Bयह केवल हर फ़्रेम का MAC पता जाँचता है
Cयह बिना किसी अपवाद के सभी आने वाले ट्रैफ़िक को रोकता है, बाहर जाने वाले अनुरोधों के उत्तरों को भी
Dयह आगे भेजे गए हर पैकेट को एन्क्रिप्ट करता है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

IPv4 की तुलना में IPv6 में विखंडन (fragmentation) कैसे भिन्न है?

AIPv6 576 बाइट से बड़े पैकेटों की अनुमति नहीं देता
BIPv6 ट्रांसपोर्ट परत पर TCP के भीतर विखंडन करता है
CIPv6 राउटर आगे भेजने से पहले 64 बाइट से बड़े हर पैकेट को मार्ग में विखंडित करते हैं
Dराउटर IPv6 पैकेटों को कभी विखंडित नहीं करते; केवल स्रोत path MTU discovery का उपयोग करके कर सकता है

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 16 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/2416 subnets

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 172.20.229.75/22 है। इसके नेटवर्क पते का तीसरा ऑक्टेट x क्या है?

172.20.229.75/22

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −19

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = −19

उत्तर

N = −19

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 104

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

1 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 1 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

1011 0100 << 1

= 0110 1000

परिणाम का मान

0110 1000₂ = 104

उत्तर

R = 104

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: b → (c → a)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

निर्यात: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c)। दोनों केवल तब 0 होते हैं जब a = 1, b = 1 और c = 0।

(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)

सत्यमान सारणी से जाँच

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 0

a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0

a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1

a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0

उत्तर

b → (c → a)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

उत्तर

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 6

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′B′C′ + A′B + AB′C + AB

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 000, 010, 011, 101, 110, 111

N = 6

उत्तर

N = 6

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

D फ़्लिप-फ़्लॉप हर आरोही कोर पर D को कॉपी करता है: Q⁺ = D।

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

परिवर्तन गिनें

0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1

N = 5

उत्तर

N = 5

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 3⁻¹ mod 29 = 10

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·3 (mod 29) के रूप में लिखा जाता है।

r = 29, t = 0

r = 3, q = 9, t = 1

r = 2, q = 1, t = −9

r = 1, q = 2, t = 10

व्युत्क्रम

1 ≡ 10·3 (mod 29)

x = 10

जाँच: 3·10 = 30 = 1·29 + 1

उत्तर

3⁻¹ mod 29 = 10

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: N = 2

gcd से भाग दें

gcd(10, 22) = 2

5x ≡ 7 (mod 11)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

5⁻¹ ≡ 9 (mod 11) → x ≡ 8 (mod 11)

22 के मापांक में हल

x ∈ {8, 19}

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 38 = 2(L + 11) − 2

L = 18

उत्तर

L = 18

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 4

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1

D · राउटर IPv6 पैकेटों को कभी विखंडित नहीं करते; केवल स्रोत path MTU discovery का उपयोग करके कर सकता है

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 14

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

2⁴ = 16 ≥ 16 → b = 4, /28

प्रति सबनेट होस्ट

2⁴ − 2 = 14

उत्तर

H = 14

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 228

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

तीसरे ऑक्टेट में ब्लॉक आकार

2² = 4

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: 172.20.228.0

ब्रॉडकास्ट: 172.20.231.255

उत्तर

x = 228

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals