कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
दो के पूरक में स्थानीय मान1−12816413201618140201

8-बिट पैटर्न 1110 1100 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1110 11008 bit
N =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
बिट सेट करने के लिए उन पर क्लिक करें012806403201608040201

बिट को 1001 0010 >> 1 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1001 0010>> 1
R =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
¬(c ∨ a) ∧ ¬b¬(c ∨ a) → ¬¬b(c ∨ a) ∧ ¬¬b¬(c ∨ a) ∧ ¬¬b

आप (c ∨ a) → ¬b को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। शुरू में कौन-सा कथन मानेंगे? उस पर क्लिक करें।

(c ∨ a) → ¬b
  1. 1¬(c ∨ a) ∧ ¬b
  2. 2¬(c ∨ a) → ¬¬b
  3. 3(c ∨ a) ∧ ¬¬b
  4. 4¬(c ∨ a) ∧ ¬¬b
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
pqq → p¬q¬p11100100

आधार-वाक्य q → p; ¬q और निष्कर्ष ¬p वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

q → p¬q∴ ¬p
  1. 1p = 1, q = 1
  2. 2p = 1, q = 0
  3. 3p = 0, q = 1
  4. 4p = 0, q = 0
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABC000111100101324576

F = ABC + BC′ + AB′ को उसके न्यूनतम गुणनफलों के योग रूप में सरल करें। सरल किए गए व्यंजक में कितने लिटरल L हैं?

F = ABC + BC′ + AB′
L =
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
DQ3​Q3​DQ2​Q2​DQ1​Q1​DQ0​Q0​CLKRING

एक 4-बिट रिंग काउंटर Q₃Q₂Q₁Q₀ 1000 से शुरू होता है। हर क्लॉक कोर पर बिट एक स्थान दाईं ओर खिसकते हैं (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) और Q₃ को Q₀ मिलता है। 8 क्लॉक कोरों के बाद अवस्था Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ दशमलव संख्या में दें।

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10008
Q =
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

यूलर का टोशेंट φ(867) ज्ञात करें, यानी 1 से 867 तक के वे पूर्णांक जो 867 से सहअभाज्य हैं।

n = 867 = 3·172
φ(867) =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन
mc = me​ mod n318m = cd​ mod n?(n, e) = (893, 13)d

एक RSA कुंजी में p = 19, q = 47 और e = 13 हैं। सिफरटेक्स्ट c = 318 को डिक्रिप्ट करें: संदेश m ज्ञात करें।

p = 19q = 47e = 13c = 318
m =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n − 1) + O(n) का हल क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

मास्टर प्रमेय का उपयोग करके T(n) = 8T(n/2) + O(n²) का हल क्या है?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

चलता हुआ प्रोग्राम सक्रिय फ़ंक्शन कॉल और उनके स्थानीय वेरिएबल का हिसाब रखने के लिए कौन-सी डेटा संरचना उपयोग करता है?

  1. Aहीप मेमोरी क्यू
  2. Bफ़्रेमों का बाइनरी सर्च ट्री
  3. Cफ़ंक्शनों की हैश टेबल
  4. Dकॉल स्टैक
12.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री के नियम n कुंजियों वाले ट्री की ऊँचाई के बारे में क्या गारंटी देते हैं?

  1. Aऊँचाई अधिकतम log2 n + 1 है
  2. Bऊँचाई ठीक log2 n है
  3. Cऊँचाई अधिकतम n / 2 है
  4. Dऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K5 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K5
H =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
4111451913141514ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कॉमन टेबल एक्सप्रेशन (WITH name AS (...)) क्या प्रदान करता है?

  1. Aएक नामित अस्थायी परिणाम जिसका उपयोग एक स्टेटमेंट के भीतर हो सकता है
  2. Bएक स्थायी टेबल जो हटाए (drop) जाने तक डिस्क पर संग्रहित रहती है
  3. Cएक नया डेटाबेस उपयोगकर्ता
  4. Dकिसी कॉलम पर एक इंडेक्स
16.डेटाबेस और SQLकठिन

किसी क्वेरी के लिए कवरिंग इंडेक्स (covering index) क्या है?

  1. Aऐसा इंडेक्स जो हर टेबल के हर कॉलम को कवर करता है
  2. Bऐसा इंडेक्स जिसमें क्वेरी को आवश्यक सभी कॉलम हों, ताकि स्वयं टेबल पढ़ने की आवश्यकता न हो
  3. Cऐसा इंडेक्स जो हर रात फिर से बनाया जाता है
  4. Dकेवल प्राइमरी की पर इंडेक्स
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

TLS, HTTPS के लिए कौन-से सुरक्षा गुण प्रदान करता है?

  1. Aकेवल तेज़ लोडिंग
  2. Bदेखी जा रही साइट पर सभी मैलवेयर और फ़िशिंग से सुरक्षा
  3. Cगोपनीयता, अखंडता और सर्वर प्रमाणीकरण
  4. Dउपयोगकर्ता की गुमनामी
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

LAN पर एक हमलावर गेटवे के IP पते का दावा करते हुए जाली ARP उत्तर भेजता है। संभावित परिणाम क्या है?

  1. Aपीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है
  2. Bहर राउटर पर गेटवे का IP पता स्थायी रूप से हमलावर के पते में बदल जाता है
  3. Cस्विच अपने सभी पोर्ट बंद कर देता है
  4. Dपूरे इंटरनेट पर सभी DNS क्वेरी विफल हो जाती हैं
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/?11111111111111111111110000000000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

एक विभाग को एक ही सबनेट में 767 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

767 hosts
p =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन
अंतिम ऑक्टेट = 251112816413211618041211नेटवर्कहोस्ट

एक होस्ट का पता 10.20.23.251/29 है। उसके सबनेट के ब्रॉडकास्ट पते की अंतिम संख्या (चौथा ऑक्टेट) x क्या है?

10.20.23.251/29
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −20

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 32 + 8 + 4 = −20

उत्तर

N = −20
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 73

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

1 से दाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 1 स्थान दाईं ओर खिसकता है; दाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और बाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

1001 0010 >> 1
= 0100 1001

परिणाम का मान

0100 1001₂ = 73

उत्तर

R = 73
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (c ∨ a) ∧ ¬¬b

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = c ∨ a, b = ¬b

निहितार्थ का निषेध

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (c ∨ a) ∧ ¬¬b

उत्तर

(c ∨ a) ∧ ¬¬b

यदि मान्यता विरोधाभास की ओर ले जाए, तो निहितार्थ सत्य होना चाहिए।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p = 1, q = 0

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1: 1 0 | 0
p = 1, q = 0: 1 1 | 0
p = 0, q = 1: 0 0 | 1
p = 0, q = 0: 1 1 | 1

प्रति-उदाहरण

p = 1, q = 0

उत्तर

p = 1, q = 0

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: L = 3

बूलीय बीजगणित: व्यंजकों को सरल करने वाले नियम हैं X + X′ = 1 और X·X′ = 0, X + X = X, अवशोषण X + X·Y = X, संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y और सहमति प्रमेय XY + X′Z + YZ = XY + X′Z। डी मॉर्गन के नियम (X·Y)′ को X′ + Y′ में और (X + Y)′ को X′·Y′ में बदलते हैं। कार्नो मानचित्र इन नियमों को चित्रात्मक रूप से लगाता है: दो पड़ोसी खानों का हर समूह XY + XY′ = X का एक उपयोग है।

व्यंजक के मिनटर्म

ABC → m(7)
BC′ → m(2, 6)
AB′ → m(4, 5)
ABC00011110010001031214151716

समूहित करें और पढ़ें

F = BC′ + A

लिटरल गिनें

L = 3

उत्तर

L = 3
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: Q = 8

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद की अवस्था

1000 → 0100 → 0010 → 0001 → 1000 → 0100 → 0010 → 0001 → 1000

दशमलव मान

1000₂ = 8

उत्तर

Q = 8
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: φ(867) = 544

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

अभाज्य गुणनखंड

867 = 3·172

टोशेंट

φ(867) = φ(3)·φ(289) = 2·272 = 544

उत्तर

φ(867) = 544
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: m = 3

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

निजी घातांक

n = 893, φ(n) = 828
d = 13−1 mod 828 = 637

बार-बार वर्ग करके डिक्रिप्ट करें

637 = 512 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1
3181 ≡ 318 (mod 893)
3182 ≡ 215 (mod 893)
3184 ≡ 682 (mod 893)
3188 ≡ 764 (mod 893)
31816 ≡ 567 (mod 893)
31832 ≡ 9 (mod 893)
31864 ≡ 81 (mod 893)
318128 ≡ 310 (mod 893)
318256 ≡ 549 (mod 893)
318512 ≡ 460 (mod 893)
318637 ≡ 318·682·764·567·9·81·460 ≡ 3 (mod 893)

संदेश

m = 3
जाँच: 313 mod 893 = 318

उत्तर

m = 3
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

कार्य का योग लगभग n² / 2 होता है; यह सिलेक्शन सॉर्ट का या सबसे ख़राब पिवट वाले क्विकसॉर्ट का रिकरेंस है।

उत्तर

C · O(n²)
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Θ(n³)

यह उत्तर क्यों है

log₂ 8 = 3, और n² की वृद्धि n³ से धीमी है, इसलिए पत्तियाँ हावी होती हैं: Θ(n³)।

उत्तर

A · Θ(n³)
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · कॉल स्टैक

यह उत्तर क्यों है

हर कॉल एक स्टैक फ़्रेम push करती है और हर return उसे pop करता है, इसीलिए सबसे हाल की कॉल पहले समाप्त होती है।

उत्तर

D · कॉल स्टैक
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है

यह उत्तर क्यों है

हर पथ में समान संख्या में काले नोड होते हैं और लाल नोड आसन्न नहीं हो सकते, इसलिए सबसे लंबा पथ सबसे छोटे का अधिकतम दोगुना है, जिससे ऊँचाई O(log n) होती है।

उत्तर

D · ऊँचाई अधिकतम 2 log2(n + 1) है
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

उत्तर

H = 12
14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): C: 4
2. C (4): B: 15, G: 18
3. B (15): D: 29
4. G (18): E: 32
5. D (29): F: 30
6. F (30)
7. E (32)

चक्र 5

D

उत्तर

D
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: A · एक नामित अस्थायी परिणाम जिसका उपयोग एक स्टेटमेंट के भीतर हो सकता है

यह उत्तर क्यों है

CTE किसी सबक्वेरी को एक नाम देता है, जिससे जटिल क्वेरी पढ़ना आसान होता है और उसी स्टेटमेंट में उसे कई बार संदर्भित किया जा सकता है।

उत्तर

A · एक नामित अस्थायी परिणाम जिसका उपयोग एक स्टेटमेंट के भीतर हो सकता है
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: B · ऐसा इंडेक्स जिसमें क्वेरी को आवश्यक सभी कॉलम हों, ताकि स्वयं टेबल पढ़ने की आवश्यकता न हो

यह उत्तर क्यों है

यदि सभी संदर्भित कॉलम इंडेक्स में हों, तो DBMS index-only scan कर सकता है और टेबल पंक्तियाँ लाना छोड़ सकता है, जिससे I/O बचता है।

उत्तर

B · ऐसा इंडेक्स जिसमें क्वेरी को आवश्यक सभी कॉलम हों, ताकि स्वयं टेबल पढ़ने की आवश्यकता न हो
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: C · गोपनीयता, अखंडता और सर्वर प्रमाणीकरण

यह उत्तर क्यों है

TLS ट्रैफ़िक को एन्क्रिप्ट करता है, छेड़छाड़ का पता लगाता है और प्रमाणपत्रों के माध्यम से सर्वर को प्रमाणित करता है (वैकल्पिक रूप से क्लाइंट को भी)।

उत्तर

C · गोपनीयता, अखंडता और सर्वर प्रमाणीकरण
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: A · पीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है

यह उत्तर क्यों है

ARP स्पूफ़िंग होस्टों के ARP कैश में गेटवे IP के लिए हमलावर का MAC डाल देती है। तब हमलावर ट्रैफ़िक पढ़ सकता है, बदल सकता है या गिरा सकता है; dynamic ARP inspection इसे रोकने में मदद करता है।

उत्तर

A · पीड़ित गेटवे के लिए ट्रैफ़िक हमलावर को भेजते हैं, जिससे man-in-the-middle हमला संभव होता है
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 22

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

29 − 2 = 510 < 767
210 − 2 = 1022 ≥ 767 → h = 10

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 10 = 22

उत्तर

p = /22
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 255

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

23 = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊251/8⌋·8 = 248
ब्रॉडकास्ट: 248 + 8 − 1 = 255
उपयोगी होस्ट: 249 … 254

उत्तर

x = 255

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