कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−31 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −318 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

एक प्रणाली को 1715 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?

1715

b = bit

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र ¬(p ∨ q) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬(p ∨ q)

1¬p ∧ ¬q
2¬p ∧ q
3¬p ∨ ¬q
4p ∨ ¬q

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∀x (F(x) ∨ G(x))

1∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
2∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
3∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
4∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = C, I₁ = 0, I₂ = 0, I₃ = C से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = CI₁ = 0I₂ = 0I₃ = C

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड JK फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और 8 आरोही क्लॉक कोरों पर दिखाए गए निवेश पाता है। Q कितनी बार N अवस्था बदलता है?

Q₀ = 0JK

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

10x ≡ 38 (mod 73) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 73।

10x ≡ 38 (mod 73)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

23 अभाज्य है। 13⁷¹⁶⁷³ mod 23 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 23k = 71673

13⁷¹⁶⁷³ mod 23 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट पर बाइनरी सर्च O(log n) समय क्यों नहीं देती?

Aलिंक्ड लिस्ट सॉर्ट नहीं की जा सकतीं
Bलिंक्ड लिस्ट नोड पर तुलनाएँ धीमी होती हैं
Cबीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
Dबाइनरी सर्च को कम से कम दोगुनी मेमोरी चाहिए

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक एप्लिकेशन को तेज़ खोज चाहिए और कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में सूचीबद्ध करना तथा रेंज प्रश्नों के उत्तर देना भी चाहिए। कौन-सी संरचना सबसे उपयुक्त है?

Aसंतुलित बाइनरी सर्च ट्री
Bअनसॉर्टेड लिंक्ड लिस्ट
Cहैश टेबल
Dस्टैक

12.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रमबद्ध लिंक्ड लिस्ट की तुलना में स्किप लिस्ट का मुख्य लाभ क्या है?

Aआगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
Bगारंटीकृत O(1) खोज, क्योंकि हर नोड बाकी हर नोड का पॉइंटर रखता है
Cयह कुंजियों को बिना क्रम के संग्रहीत करती है
Dयह कोई अतिरिक्त मेमोरी नहीं लेती

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₇ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₇

H =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष B से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 2 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Bk = 2

1कोर AB
2कोर AC
3कोर BC
4कोर BD
5कोर CE
6कोर DE
7कोर DF
8कोर BE

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक employees टेबल में manager_id कॉलम है जो किसी अन्य कर्मचारी को संदर्भित करता है। हर कर्मचारी को उसके मैनेजर के नाम के साथ कैसे सूचीबद्ध करते हैं?

AUNION ALL और WHERE फ़िल्टर का उपयोग करके टेबल को स्वयं से मिलाकर
Bकेवल GROUP BY manager_id का उपयोग करके
Cदो उपनामों का उपयोग करके employees टेबल को स्वयं से जोड़कर
Dडिस्क पर टेबल की दूसरी प्रति बनाकर

16.डेटाबेस और SQLकठिन

x NULL है और y = 1 है। शर्त (x > 5 OR y = 1) का मान क्या है?

ANULL, इसलिए पंक्ति हमेशा अस्वीकार होती है
BTRUE
CFALSE
DUNKNOWN

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

255.255.255.0 का सबनेट मास्क CIDR संकेतन में किसके बराबर है?

A/8
B/16
C/32
D/24

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

SYN flood हमले में हमलावर किस संसाधन को समाप्त करने की कोशिश करता है?

Aस्विच की MAC पता तालिका
Bक्लाइंट का DNS कैश
Cसर्वर का डिस्क स्थान
Dसर्वर की अर्ध-खुले (half-open) कनेक्शनों की तालिका

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.4.0/24 को /25 सबनेटों में बाँटा गया है, जिन्हें सबसे निचले पते से 1, 2, 3, … क्रमांकित किया गया है (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)। सबनेट 2 के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

192.168.4.0/24/25सबनेट 2 (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)

x =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 172.20.161.221/21 है। इसके नेटवर्क पते का तीसरा ऑक्टेट x क्या है?

172.20.161.221/21

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 225

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

31 = 0001 1111

उलटा हुआ: 1110 0000

+1 → 1110 0001

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1110 0001₂ = 256 − 31 = 225

उत्तर

U = 225

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: b = 11 bit

दो की घातें

2¹⁰ = 1024 < 1715

2¹¹ = 2048 ≥ 1715

उत्तर

b = 11

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬p ∧ ¬q

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

डी मॉर्गन: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b। ∨, ∧ बन जाता है और दोनों भागों का निषेध होता है।

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

सत्यमान सारणी से जाँच

p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 1, q = 0: 0 | 0 0 1 1

p = 0, q = 1: 0 | 0 1 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 0 1 1

उत्तर

¬p ∧ ¬q

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

उत्तर

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 2

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′B′C + ABC

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 001, 111

N = 2

उत्तर

N = 2

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

JK फ़्लिप-फ़्लॉप: 00 स्थिर रखता है, 01 रीसेट करता है (Q = 0), 10 सेट करता है (Q = 1), 11 टॉगल करता है।

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 0, K = 0 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 1 → Q = 0

5: J = 1, K = 1 → Q = 1

6: J = 0, K = 1 → Q = 0

7: J = 0, K = 1 → Q = 0

8: J = 1, K = 1 → Q = 1

परिवर्तन गिनें

0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1

N = 5

उत्तर

N = 5

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 33

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

10 का प्रतिलोम

r = 73, t = 0

r = 10, q = 7, t = 1

r = 3, q = 3, t = −7

r = 1, q = 3, t = 22

10⁻¹ ≡ 22 (mod 73)

हल करें

x ≡ 22·38 = 836 ≡ 33 (mod 73)

जाँच: 10·33 = 330 ≡ 38 (mod 73)

उत्तर

x = 33

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 13⁷¹⁶⁷³ mod 23 = 2

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

A · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 360

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

उत्तर

H = 360

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर AC

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. BC (1)

2. AC (3)

3. BE (7)

4. DE (15)

5. DF (2)

हर SYN सर्वर को स्थिति आरक्षित करने और ऐसे ACK की प्रतीक्षा करने पर मजबूर करता है जो कभी नहीं आता। SYN cookies हैंडशेक पूरा होने तक स्थिति संग्रहित करने से बचाती हैं।

उत्तर

D · सर्वर की अर्ध-खुले (half-open) कनेक्शनों की तालिका

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ब्लॉक आकार

2⁷ = 128

सबनेट संख्या 2

नेटवर्क: (2 − 1)·128 = 128

ब्रॉडकास्ट: 128 + 128 − 1 = 255

उत्तर

x = 128

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 160

तीसरे ऑक्टेट में ब्लॉक आकार

2³ = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: 172.20.160.0

ब्रॉडकास्ट: 172.20.167.255

उत्तर

x = 160

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