कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

8-बिट पैटर्न 1010 1101 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1010 11018 bit

N =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

32-बिट दो के पूरक में संग्रहीत की जा सकने वाली सबसे छोटी (सबसे ऋणात्मक) पूर्णांक N क्या है?

32 bit

N =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

आप (r ∨ p) → ¬q को प्रतिधनात्मक द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। इसके बजाय कौन-सा निहितार्थ सिद्ध करेंगे? उस पर क्लिक करें।

(r ∨ p) → ¬q

1¬q → (r ∨ p)
2(r ∨ p) ∧ ¬¬q
3¬¬q → ¬(r ∨ p)
4¬(r ∨ p) → ¬¬q

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

सत्यमान सारणी की 16 पंक्तियों में से कितनी (r ∧ (¬p ∨ s)) ∧ ((r ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ q)) को सत्य बनाती हैं? इस संख्या को N कहें।

(r ∧ (¬p ∨ s)) ∧ ((r ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ q))

N =

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = C, I₁ = C, I₂ = C′, I₃ = C से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।

I₀ = CI₁ = CI₂ = C′I₃ = C

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 9) + d(0, 3, 10, 14) के लिए, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है, अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्यों (एसेंशियल प्राइम इम्प्लिकेंट) की संख्या N ज्ञात करें।

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 9) + d(0, 3, 10, 14)

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

76x ≡ 14 (mod 83) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 83।

76x ≡ 14 (mod 83)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

29 अभाज्य है। 24⁷⁶³⁸³ mod 29 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 29k = 76383

24⁷⁶³⁸³ mod 29 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक ग्रीडी एल्गोरिदम (greedy algorithm):

Aकेवल रिकर्शन का उपयोग करता है
Bहर संभव समाधान आज़माता है
Cहमेशा इष्टतम समाधान देता है
Dहर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

अनिर्णेय (undecidable) समस्या और दुःसाध्य (intractable) समस्या में क्या अंतर है?

Aअनिर्णेय समस्या के लिए सभी इनपुट पर कोई एल्गोरिदम नहीं होता; दुःसाध्य के लिए होता है, पर बहुत धीमा
Bअनिर्णेय समस्याएँ NP में हैं, जबकि दुःसाध्य समस्याएँ P में हैं
Cदुःसाध्य समस्याएँ किसी भी एल्गोरिदम से हल नहीं हो सकतीं, जबकि अनिर्णेय समस्याओं को केवल घातांकी समय चाहिए
Dदोनों का अर्थ है कि समस्या का कोई एल्गोरिदम ही नहीं है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। पोस्टऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

A1 2 4 5 3
B4 5 2 3 1
C5 4 3 2 1
D4 2 5 1 3

12.डेटा संरचनाएँकठिन

एक सर्वर अपना हैश फ़ंक्शन यूनिवर्सल फ़ैमिली से यादृच्छिक रूप से क्यों चुन सकता है?

Aयह गारंटी देने के लिए कि हमलावर चाहे जो कुंजियाँ भेजे, कोई दो कुंजियाँ कभी न टकराएँ
Bटेबल का आकार बदलने की आवश्यकता हटाने के लिए
Cताकि यह बहुत असंभाव्य हो कि कोई हमलावर ऐसी कई कुंजियाँ चुन सके जो सभी टकराएँ
Dहैश टेबल को सॉर्टेड बनाने के लिए

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 15 शीर्ष और 19 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 15|E| = 19

k =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8

W =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कौन-सी क्वेरी हर विभाग में सबसे अधिक salary लौटाती है?

ASELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
BSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
CSELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
DSELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept

16.डेटाबेस और SQLकठिन

कोरिलेटेड सबक्वेरी (correlated subquery) वह होती है जो:

Aबाहरी क्वेरी से पहले केवल एक बार चलती है और अपना परिणाम हर पंक्ति के लिए कैश कर लेती है
Bफ़ॉरेन की से दो टेबलों को जोड़ती है
Cबाहरी क्वेरी के कॉलमों को संदर्भित करती है और प्रत्येक बाहरी पंक्ति के लिए मूल्यांकित होती है
Dकेवल एग्रीगेट फ़ंक्शन का उपयोग करती है

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

TLS, HTTPS के लिए कौन-से सुरक्षा गुण प्रदान करता है?

Aउपयोगकर्ता की गुमनामी
Bदेखी जा रही साइट पर सभी मैलवेयर और फ़िशिंग से सुरक्षा
Cकेवल तेज़ लोडिंग
Dगोपनीयता, अखंडता और सर्वर प्रमाणीकरण

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक उपयोगकर्ता 8.8.8.8 को ping कर सकता है पर नाम से कोई भी वेबसाइट नहीं खोल पाता। समस्या सबसे संभवतः कहाँ है?

Aभौतिक केबल
Bनाम समाधान (DNS)
Cनेटवर्क कार्ड ड्राइवर
Dडिफ़ॉल्ट गेटवे

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक सबनेट मास्क 255.255.255.248 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.255.248

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.51.109/29 है। उसके सबनेट के अंतिम उपयोगी होस्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.51.109/29

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −83

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 32 + 8 + 4 + 1 = −83

उत्तर

N = −83

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −2.147 × 10⁹

सबसे ऋणात्मक मान

−2³¹ = −2147483648

उत्तर

N = −2147483648

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬¬q → ¬(r ∨ p)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = r ∨ p, b = ¬q

प्रतिधनात्मक

¬b → ¬a = ¬¬q → ¬(r ∨ p)

उत्तर

¬¬q → ¬(r ∨ p)

प्रतिधनात्मक मूल कथन के तुल्य है, इसलिए उसे सिद्ध करने से कथन सिद्ध हो जाता है।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 4

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

स्तंभ

¬p; ¬p ∨ s; r ∧ (¬p ∨ s); r ∨ q; ¬p ∧ q; ¬(¬p ∧ q); (r ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ q); (r ∧ (¬p ∨ s)) ∧ ((r ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ q))

p पर बाँटें

p = 1: 2

p = 0: 2

N = 2 + 2 = 4

उत्तर

N = 4

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।

निर्गत व्यंजक

F = A′B′C + A′BC + AB′C′ + ABC

F = 1 वाली पंक्तियाँ

ABC = 001, 011, 100, 111

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 1

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

B′D′, B′C′, A′B′

अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्य

B′C′

N = 1

उत्तर

N = 1

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 81

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

76 का प्रतिलोम

r = 83, t = 0

r = 76, q = 1, t = 1

r = 7, q = 10, t = −1

r = 6, q = 1, t = 11

r = 1, q = 6, t = −12

76⁻¹ ≡ 71 (mod 83)

हल करें

x ≡ 71·14 = 994 ≡ 81 (mod 83)

जाँच: 76·81 = 6156 ≡ 14 (mod 83)

उत्तर

x = 81

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 24⁷⁶³⁸³ mod 29 = 23

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

C · ताकि यह बहुत असंभाव्य हो कि कोई हमलावर ऐसी कई कुंजियाँ चुन सके जो सभी टकराएँ

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 5

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

15 − 1 = 14

हटाई जाने वाली कोरें

k = 19 − 14 = 5

उत्तर

k = 5

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 36

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BD (1): लें

EF (4): लें

BE (5): लें

DE (8): छोड़ें, चक्र बनता है

B · नाम समाधान (DNS)

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 6

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उपसर्ग लंबाई

255.255.255.248 = /29

उपयोगी होस्ट

2³ − 2 = 6

उत्तर

H = 6

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 110

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

2³ = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊109/8⌋·8 = 104

ब्रॉडकास्ट: 104 + 8 − 1 = 111

उपयोगी होस्ट: 105 … 110

उत्तर

x = 110

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