कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

8-बिट पैटर्न 1000 1101 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1000 11018 bit

N =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0110 0010 XOR 0100 0011 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0110 0010XOR0100 0011

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

क्या ¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b) पुनरुक्ति, विरोधोक्ति या आपातिक कथन है? अपना उत्तर क्लिक करें।

¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b)

1पुनरुक्ति
2विरोधोक्ति
3आपातिक कथन

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य p → r; r और निष्कर्ष p वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

p → rr∴ p

1p = 1, r = 1
2p = 1, r = 0
3p = 0, r = 1
4p = 0, r = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 9, 11, 15) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 9, 11, 15)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 8, 14) + d(6, 9, 11, 12, 15) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 7, 8, 14) + d(6, 9, 11, 12, 15)

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

यूलर का टोशेंट φ(143) ज्ञात करें, यानी 1 से 143 तक के वे पूर्णांक जो 143 से सहअभाज्य हैं।

n = 143 = 11·13

φ(143) =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी में p = 29, q = 41 और e = 23 हैं। सिफरटेक्स्ट c = 888 को डिक्रिप्ट करें: संदेश m ज्ञात करें।

p = 29q = 41e = 23c = 888

m =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n)
DO(2ⁿ)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सबसे छोटे सरल पथ बहुपदी समय में खोजे जा सकते हैं। सामान्य ग्राफ़ में दो शीर्षों के बीच सबसे लंबा सरल पथ खोजने के बारे में क्या ज्ञात है?

Aयह हमेशा O(V + E) में हल होता है
Bयह अनिर्णेय है
Cइसे ऋणात्मक भारों के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम से हल किया जा सकता है
Dयह NP-hard है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

n तत्वों के ऐरे के बीच में एक तत्व डालने की लागत क्या है?

AO(1), क्योंकि इंडेक्स ज्ञात है
BO(n), क्योंकि बाद के तत्वों को खिसकना पड़ता है
CO(log n), बाइनरी सर्च के कारण
DO(n²), क्योंकि हर तत्व n बार खिसकता है

12.डेटा संरचनाएँकठिन

डबल हैशिंग मुख्य रूप से लीनियर प्रोबिंग की कौन-सी समस्या घटाती है?

Aकिसी कुंजी का मान पढ़ने की O(n) लागत
Bहैश फ़ंक्शन की आवश्यकता
Cटेबल में कुंजियाँ संग्रहीत करने की आवश्यकता
Dप्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष A से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Ak = 3

1कोर AB
2कोर AC
3कोर BC
4कोर BD
5कोर DE
6कोर DF
7कोर EF
8कोर BE

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

कॉलमों पर इंडेक्स क्यों बनाए जाते हैं?

ANULL मानों को रोकने के लिए
Bउन कॉलमों पर इंसर्ट और अपडेट को तेज़ करने के लिए
Cडिस्क स्थान बचाने के लिए
Dउन कॉलमों पर खोज और जॉइन को तेज़ करने के लिए

16.डेटाबेस और SQLकठिन

EXPLAIN (या PostgreSQL में EXPLAIN ANALYZE) किसी क्वेरी के लिए क्या दिखाता है?

Aक्वेरी में हर SQL कीवर्ड का अर्थ
Bक्वेरी चलाने वाले उपयोगकर्ताओं की सूची
Cकेवल रिलेशनल बीजगणित संकेतन में क्वेरी का पुनर्लेखन
Dऑप्टिमाइज़र द्वारा चुनी गई निष्पादन योजना, जैसे स्कैन और जॉइन विधियाँ

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा होस्ट 10.1.2.3 के समान /16 सबनेट में है?

A11.1.2.3
B10.1.200.5
C10.2.2.3
D10.0.2.3

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक रिमोट-टर्मिनल एप्लिकेशन सुस्त लगता है क्योंकि छोटे कीस्ट्रोक पैकेट रोके जाते हैं। अक्सर कौन-सा TCP तंत्र ज़िम्मेदार होता है?

AFast retransmit
BNagle का एल्गोरिदम
CSlow start
DThree-way handshake

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक सबनेट मास्क 255.255.255.192 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.255.192

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.68.202/29 है। उसके नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.68.202/29

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −115

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 8 + 4 + 1 = −115

उत्तर

N = −115

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 33

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

XOR वहाँ 1 देता है जहाँ दोनों बिट अलग हों।

0110 0010

XOR 0100 0011

= 0010 0001

परिणाम का मान

0010 0001₂ = 33

उत्तर

R = 33

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: पुनरुक्ति

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

b = 1, c = 1: c ∧ b = 1, ¬(c ∧ b) = 0, ¬c = 0, ¬b = 0, ¬c ∨ ¬b = 0, ¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b) = 1

b = 1, c = 0: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬c = 1, ¬b = 0, ¬c ∨ ¬b = 1, ¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b) = 1

b = 0, c = 1: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬c = 0, ¬b = 1, ¬c ∨ ¬b = 1, ¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b) = 1

b = 0, c = 0: c ∧ b = 0, ¬(c ∧ b) = 1, ¬c = 1, ¬b = 1, ¬c ∨ ¬b = 1, ¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b) = 1

वर्गीकृत करें

¬(c ∧ b) ↔ (¬c ∨ ¬b): 1, 1, 1, 1

हर पंक्ति में 1: पुनरुक्ति।

उत्तर

पुनरुक्ति

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p = 0, r = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, r = 0: 0 0 | 1

p = 0, r = 1: 1 1 | 0

p = 0, r = 0: 1 0 | 0

प्रति-उदाहरण

p = 0, r = 1

उत्तर

p = 0, r = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(C′ + D)

(B′ + C + D′)

(A′ + D)

(A + B + D′)

न्यूनतम POS रूप

F = (C′ + D)(B′ + C + D′)(A′ + D)(A + B + D′)

N = 4

उत्तर

N = 4

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

CD, BD′, BC, AC′D′, AB′C′

न्यूनतम आवरण

F = CD + BD′ + AC′D′

N = 3

उत्तर

N = 3

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: φ(143) = 120

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

अभाज्य गुणनखंड

143 = 11·13

टोशेंट

φ(143) = φ(11)·φ(13) = 10·12 = 120

उत्तर

φ(143) = 120

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: m = 1063

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

निजी घातांक

n = 1189, φ(n) = 1120

d = 23⁻¹ mod 1120 = 487

बार-बार वर्ग करके डिक्रिप्ट करें

487 = 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1

888¹ ≡ 888 (mod 1189)

888² ≡ 237 (mod 1189)

888⁴ ≡ 286 (mod 1189)

888⁸ ≡ 944 (mod 1189)

888¹⁶ ≡ 575 (mod 1189)

888³² ≡ 83 (mod 1189)

888⁶⁴ ≡ 944 (mod 1189)

888¹²⁸ ≡ 575 (mod 1189)

888²⁵⁶ ≡ 83 (mod 1189)

888⁴⁸⁷ ≡ 888·237·286·83·944·575·83 ≡ 1063 (mod 1189)

संदेश

m = 1063

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

B, C → 2

यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. AC (12)

2. BC (17)

3. BE (5)

4. BD (10)

5. DF (7)

Nagle का एल्गोरिदम पहले के डेटा की पावती न होने तक छोटे सेगमेंटों को बंडल करने की प्रतीक्षा करता है। इससे बैंडविड्थ बचती है पर इंटरैक्टिव ट्रैफ़िक में देरी बढ़ती है।

उत्तर

B · Nagle का एल्गोरिदम

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 62

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उपसर्ग लंबाई

255.255.255.192 = /26

उपयोगी होस्ट

2⁶ − 2 = 62

उत्तर

H = 62

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 200

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

2³ = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊202/8⌋·8 = 200

ब्रॉडकास्ट: 200 + 8 − 1 = 207

उपयोगी होस्ट: 201 … 206

उत्तर

x = 200

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