कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

8-बिट पैटर्न 1110 0001 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?

1110 00018 bit

N =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0011 1111 XOR 1000 0110 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0011 1111XOR1000 0110

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

क्या (p → r) → (r → p) पुनरुक्ति, विरोधोक्ति या आपातिक कथन है? अपना उत्तर क्लिक करें।

(p → r) → (r → p)

1पुनरुक्ति
2विरोधोक्ति
3आपातिक कथन

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य p → q; q और निष्कर्ष p वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

p → qq∴ p

1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 11, 12, 15) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 11, 12, 15)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 10, 15) + d(1, 4) के लिए, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है, अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्यों (एसेंशियल प्राइम इम्प्लिकेंट) की संख्या N ज्ञात करें।

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 10, 15) + d(1, 4)

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

61 के मापांक में 22 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 61 और 22·x ≡ 1 (mod 61)।

a = 22n = 61

22⁻¹ mod 61 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

एक RSA कुंजी में p = 17, q = 41 और e = 23 हैं। सिफरटेक्स्ट c = 140 को डिक्रिप्ट करें: संदेश m ज्ञात करें।

p = 17q = 41e = 23c = 140

m =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

AO(log n)
BO(n)
CO(n log n)
DO(n²)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

Aदोनों रूप
Bकोई भी रूप नहीं
C0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
Dफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

Aहीप
Bकेवल हैश टेबल
Cक्यू
Dस्टैक

12.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

AO(log n)
BO(1)
CO(n)
DO(log log n)

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F

d(F) =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक टेबल में केवल एक क्लस्टर्ड इंडेक्स क्यों हो सकता है?

ASQL मानक किसी टेबल पर एक से अधिक इंडेक्स की अनुमति नहीं देता
Bपंक्तियाँ भौतिक रूप से केवल एक क्रम में संग्रहित की जा सकती हैं
Cक्लस्टर्ड इंडेक्स केवल प्राइमरी की पर हो सकते हैं
Dक्लस्टर्ड इंडेक्स बहुत अधिक मेमोरी उपयोग करते हैं

16.डेटाबेस और SQLकठिन

(last_name, first_name) पर एक कंपोज़िट इंडेक्स है। कौन-सी शर्त इसका सबसे प्रभावी उपयोग कर सकती है?

AWHERE first_name LIKE '%a'
BWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
CWHERE last_name = 'Jansen'
DWHERE first_name = 'Eva'

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक राउटर के पास 10.0.0.0/8 और 10.1.0.0/16 के मार्ग हैं। 10.1.5.5 के लिए पैकेट पर वह कौन-सा मार्ग उपयोग करेगा?

A10.1.0.0/16, क्योंकि यह सबसे लंबा मेल खाने वाला प्रीफ़िक्स है
B10.0.0.0/8, क्योंकि यह /16 की तुलना में अधिक पते कवर करता है
C10.0.0.0/8, क्योंकि इसे पहले जोड़ा गया था
Dदोनों मार्ग, ट्रैफ़िक को बराबर बाँटते हुए

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

TCP हर कनेक्शन के लिए अप्रत्याशित प्रारंभिक अनुक्रम संख्या (initial sequence number) क्यों चुनता है?

Aडेटा को अधिक कुशलता से संपीड़ित करने के लिए
Bउस कनेक्शन के सेगमेंटों के लिए गंतव्य तक का सबसे अच्छा मार्ग चुनने के लिए
Cपुराने सेगमेंटों से भ्रम से बचने और जाली सेगमेंट डालना कठिन बनाने के लिए
Dहर सेगमेंट के पेलोड को एन्क्रिप्ट करने के लिए

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 1066 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

1066 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.112.186/29 है। उसके सबनेट के अंतिम उपयोगी होस्ट पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.112.186/29

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: N = −31

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

मान जोड़ें

बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।

−128 + 64 + 32 + 1 = −31

उत्तर

N = −31

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 185

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

XOR वहाँ 1 देता है जहाँ दोनों बिट अलग हों।

0011 1111

XOR 1000 0110

= 1011 1001

परिणाम का मान

1011 1001₂ = 185

उत्तर

R = 185

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: आपातिक कथन

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, r = 1: p → r = 1, r → p = 1, (p → r) → (r → p) = 1

p = 1, r = 0: p → r = 0, r → p = 1, (p → r) → (r → p) = 1

p = 0, r = 1: p → r = 1, r → p = 0, (p → r) → (r → p) = 0

p = 0, r = 0: p → r = 1, r → p = 1, (p → r) → (r → p) = 1

वर्गीकृत करें

(p → r) → (r → p): 1, 1, 0, 1

4 पंक्तियों में से 3 में 1, बाकी में 0: एक आकस्मिकता (contingency)।

उत्तर

आपातिक कथन

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p = 0, q = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 0: 0 0 | 1

p = 0, q = 1: 1 1 | 0

p = 0, q = 0: 1 0 | 0

प्रति-उदाहरण

p = 0, q = 1

उत्तर

p = 0, q = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

BC′D′

A′C′D′

ACD

A′BD′

A′BC′

न्यूनतम SOP रूप

F = BC′D′ + A′C′D′ + ACD + A′BD′ + A′BC′

N = 5

उत्तर

N = 5

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

B′CD′, A′C′D′, A′B′, ABCD

अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्य

B′CD′, A′B′, ABCD

N = 3

उत्तर

N = 3

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 22⁻¹ mod 61 = 25

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·22 (mod 61) के रूप में लिखा जाता है।

r = 61, t = 0

r = 22, q = 2, t = 1

r = 17, q = 1, t = −2

r = 5, q = 3, t = 3

r = 2, q = 2, t = −11

r = 1, q = 2, t = 25

व्युत्क्रम

1 ≡ 25·22 (mod 61)

x = 25

जाँच: 22·25 = 550 = 9·61 + 1

उत्तर

22⁻¹ mod 61 = 25

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: m = 13

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

निजी घातांक

n = 697, φ(n) = 640

d = 23⁻¹ mod 640 = 167

बार-बार वर्ग करके डिक्रिप्ट करें

167 = 128 + 32 + 4 + 2 + 1

140¹ ≡ 140 (mod 697)

140² ≡ 84 (mod 697)

140⁴ ≡ 86 (mod 697)

140⁸ ≡ 426 (mod 697)

140¹⁶ ≡ 256 (mod 697)

140³² ≡ 18 (mod 697)

140⁶⁴ ≡ 324 (mod 697)

140¹²⁸ ≡ 426 (mod 697)

140¹⁶⁷ ≡ 140·84·86·18·426 ≡ 13 (mod 697)

संदेश

m = 13

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

A, E → 2

यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 12

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 1, C: 10

B (1): C: 3, D: 6, G: 8

C (3): E: 18

D (6): F: 12

G (8): E: 14

F (12)

E (14)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F

आवश्यक होस्ट बिट

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1066

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1066 → h = 11

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 11 = 21

उत्तर

p = /21

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 190

ब्लॉक आकार

2³ = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊186/8⌋·8 = 184

ब्रॉडकास्ट: 184 + 8 − 1 = 191

उपयोगी होस्ट: 185 … 190

उत्तर

x = 190

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