कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −101 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −1018 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

एक प्रणाली को 4318 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?

4318

b = bit

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र p ∧ (q ∨ r) के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

p ∧ (q ∨ r)

1p ∨ (q ∧ r)
2(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
3(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
4(p ∧ q) ∨ r

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

सत्यमान सारणी की 16 पंक्तियों में से कितनी ((¬r → p) → (¬s ↔ ¬p)) ∨ (s ∧ q) को सत्य बनाती हैं? इस संख्या को N कहें।

((¬r → p) → (¬s ↔ ¬p)) ∨ (s ∧ q)

N =

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 11, 12, 15) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 6, 11, 12, 15)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक mod-13 काउंटर न्यूनतम संख्या के फ़्लिप-फ़्लॉप से बना है। संभव अवस्थाओं में से कितनी U कभी उपयोग नहीं होतीं?

N = 13

U =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

34 के मापांक में 31 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 34 और 31·x ≡ 1 (mod 34)।

a = 31n = 34

31⁻¹ mod 34 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

संदेश m = 293 को RSA सार्वजनिक कुंजी (n, e) = (391, 23) से एन्क्रिप्ट करें। सिफरटेक्स्ट c ज्ञात करें।

n = 391e = 23m = 293

c =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(n) का हल क्या है?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(log n)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

ANP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
BNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
Cहल करना असंभव है
Dबहुपद समय में हल की जा सकती है

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। पोस्टऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

A4 5 2 3 1
B4 2 5 1 3
C5 4 3 2 1
D1 2 4 5 3

12.डेटा संरचनाएँकठिन

O(1) अतिरिक्त मेमोरी से कैसे पता लगाएँ कि सिंगली लिंक्ड लिस्ट में चक्र है या नहीं?

Aलिस्ट सॉर्ट करके दोहराव खोजें
Bनोड तब तक गिनें जब तक गिनती लिस्ट-लंबाई फ़ील्ड से अधिक न हो जाए
Cहर देखे गए नोड को एक हैश सेट में संग्रहीत करें
Dएक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 8 शीर्ष और 19 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 8|E| = 19

k =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7

W =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

अधिकांश डेटाबेस में SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 विफल क्यों होता है?

AWHERE केवल टेक्स्ट कॉलमों की तुलना कर सकता है
BSELECT सूची में अंकगणित की अनुमति नहीं है
Cउपनामों में अंडरस्कोर नहीं हो सकता
DWHERE का मूल्यांकन SELECT सूची से पहले होता है, इसलिए उपनाम अभी मौजूद नहीं है

16.डेटाबेस और SQLकठिन

एक रिपोर्टिंग डेटाबेस जॉइन से बचने के लिए ग्राहक नामों को orders टेबल में कॉपी करता है। इस डीनॉर्मलाइज़ेशन की मुख्य लागत क्या है?

Aorders टेबल पर क्वेरी धीमी हो जाती हैं
Bडेटाबेस अब इंडेक्स का उपयोग नहीं कर सकता
Cग्राहक डेटा बदलने पर अतिरिक्त प्रतियों को संगत रखना पड़ता है
Dप्राइमरी की का अब उपयोग नहीं हो सकता

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

TLS आमतौर पर असममित (asymmetric) और सममित (symmetric) क्रिप्टोग्राफ़ी का उपयोग कैसे करता है?

Aअसममित विधियाँ कुंजियों पर सहमति और प्रमाणीकरण करती हैं; सममित सिफ़र डेटा एन्क्रिप्ट करते हैं
Bपूरे समय केवल असममित क्रिप्टोग्राफ़ी का उपयोग होता है
Cएक निश्चित साझा पासवर्ड के साथ केवल सममित क्रिप्टोग्राफ़ी का उपयोग होता है
Dसममित विधियाँ कुंजियों पर सहमति और प्रमाणीकरण करती हैं; असममित सिफ़र सारा डेटा एन्क्रिप्ट करते हैं

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

Shannon के प्रमेय के अनुसार, 255 के सिग्नल-टू-नॉइज़ अनुपात वाले 1 MHz चैनल की क्षमता क्या है?

A1 Mbit/s
B255 Mbit/s
C2 Mbit/s
D8 Mbit/s

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 192.168.123.0/24 को /25 सबनेटों में बाँटा गया है, जिन्हें सबसे निचले पते से 1, 2, 3, … क्रमांकित किया गया है (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)। सबनेट 2 के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

192.168.123.0/24/25सबनेट 2 (सबनेट 1 .0 से शुरू होता है)

x =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.128.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 12 होस्ट, B: 51 होस्ट, C: 95 होस्ट, D: 3 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN D के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 12B: 51C: 95D: 3

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 155

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

101 = 0110 0101

उलटा हुआ: 1001 1010

+1 → 1001 1011

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1001 1011₂ = 256 − 101 = 155

उत्तर

U = 155

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: b = 13 bit

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

दो की घातें

2¹² = 4096 < 4318

2¹³ = 8192 ≥ 4318

उत्तर

b = 13

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

∧, ∨ पर वितरित होता है: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)।

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

सत्यमान सारणी से जाँच

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 1 1 0 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

उत्तर

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 11

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

स्तंभ

¬r; ¬r → p; ¬s; ¬p; ¬s ↔ ¬p; (¬r → p) → (¬s ↔ ¬p); s ∧ q; ((¬r → p) → (¬s ↔ ¬p)) ∨ (s ∧ q)

p पर बाँटें

p = 1: 4

p = 0: 7

N = 4 + 7 = 11

उत्तर

N = 11

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 6

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B + C + D′)

(B + C′ + D)

(A + C′ + D′)

(A′ + C + D′)

(A′ + C′ + D)

(A′ + B + D)

न्यूनतम POS रूप

F = (B + C + D′)(B + C′ + D)(A + C′ + D′)(A′ + C + D′)(A′ + C′ + D)(A′ + B + D)

N = 6

उत्तर

N = 6

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: U = 3

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

फ़्लिप-फ़्लॉप की संख्या

2ⁿ ≥ 13 → n = 4 (2⁴ = 16)

अनुपयोगी अवस्थाएँ

U = 16 − 13 = 3

उत्तर

U = 3

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 31⁻¹ mod 34 = 11

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·31 (mod 34) के रूप में लिखा जाता है।

r = 34, t = 0

r = 31, q = 1, t = 1

r = 3, q = 10, t = −1

r = 1, q = 3, t = 11

व्युत्क्रम

1 ≡ 11·31 (mod 34)

x = 11

जाँच: 31·11 = 341 = 10·34 + 1

उत्तर

31⁻¹ mod 34 = 11

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: c = 132

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

बार-बार वर्ग करना

23 = 16 + 4 + 2 + 1

293¹ ≡ 293 (mod 391)

293² ≡ 220 (mod 391)

293⁴ ≡ 307 (mod 391)

D · एक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

8 − 1 = 7

हटाई जाने वाली कोरें

k = 19 − 7 = 12

उत्तर

k = 12

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 18

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

DE (1): लें

BE (4): लें

D · 8 Mbit/s

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

ब्लॉक आकार

2⁷ = 128

सबनेट संख्या 2

नेटवर्क: (2 − 1)·128 = 128

ब्रॉडकास्ट: 128 + 128 − 1 = 255

उत्तर

x = 128

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 208

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

C: 95 होस्ट → 2⁷ = 128 (/25)

B: 51 होस्ट → 2⁶ = 64 (/26)

A: 12 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

D: 3 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

C: .0 – .127

B: .128 – .191

A: .192 – .207

D: .208 – .215

उत्तर

x = 208

LAN D: 192.168.128.208/29।

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