कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान
बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
दशमलव में
Σ dk·bk
दशमलव से
आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी
एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ
2ⁿ
निहितार्थ
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

  1. अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
  2. हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
  3. हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
  4. तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
  5. परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह
k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
फ़्लिप-फ़्लॉप
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर
n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
रिपल काउंटर
fmax = 1/(n·tpd)
रिंग और जॉनसन काउंटर
n और 2n अवस्थाएँ

विधि

  1. परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
  2. सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
  3. 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
  4. फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

  1. पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
  2. gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
  3. प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
  4. a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
  5. घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार
256 − (mask octet)
नेटवर्क पता
IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता
IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट
2n

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
8-बिट दो का पूरक0−12806403201608040201

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −66 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −668 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
बिट सेट करने के लिए उन पर क्लिक करें012806403201608040201

बिट को 0110 1011 >> 1 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0110 1011>> 1
R =
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम
pqr¬rp ∨ ¬r((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r)111?110?101?100?011?010?001?000?

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r)
N =
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन
abca → cb → ca → b111110101100011010001000

आधार-वाक्य a → c; b → c और निष्कर्ष a → b वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

a → cb → c∴ a → b
  1. 1a = 1, b = 1, c = 1
  2. 2a = 1, b = 1, c = 0
  3. 3a = 1, b = 0, c = 1
  4. 4a = 1, b = 0, c = 0
  5. 5a = 0, b = 1, c = 1
  6. 6a = 0, b = 1, c = 0
  7. 7a = 0, b = 0, c = 1
  8. 8a = 0, b = 0, c = 0
5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
ABC00011110010001131214050706

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 4)
N =
6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
CLKT12345678

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड T फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0T
  1. 1क्लॉक कोर 1
  2. 2क्लॉक कोर 2
  3. 3क्लॉक कोर 3
  4. 4क्लॉक कोर 4
  5. 5क्लॉक कोर 5
  6. 6क्लॉक कोर 6
  7. 7क्लॉक कोर 7
  8. 8क्लॉक कोर 8
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

यूलर का टोशेंट φ(351) ज्ञात करें, यानी 1 से 351 तक के वे पूर्णांक जो 351 से सहअभाज्य हैं।

n = 351 = 33·13
φ(351) =
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

31 अभाज्य है। 1154516 mod 31 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 31k = 54516
1154516 mod 31 =
9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्या यह कहना सही है कि एक O(n²) एल्गोरिदम O(n³) भी है?

  1. Aहाँ, पर केवल तब जब n 100 से छोटा हो
  2. Bहाँ, क्योंकि Big O एक ऊपरी सीमा है और n², n³ से तेज़ नहीं बढ़ता
  3. Cनहीं, क्योंकि बड़े n के लिए n³, n² से छोटा है
  4. Dनहीं, क्योंकि Big O को हमेशा फ़ंक्शन की सटीक वृद्धि दर बतानी चाहिए
10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सी तकनीक किसी भी इनपुट पर क्विकसॉर्ट को अपेक्षित (expected) O(n log n) रनिंग टाइम देती है?

  1. Aकेवल बाईं ओर रिकर्शन का उपयोग करना
  2. Bपिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना
  3. Cक्विकसॉर्ट चलाने से पहले इनपुट को सॉर्ट करना
  4. Dहमेशा पहला तत्व चुनना
11.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री का in-order ट्रैवर्सल कुंजियों को किस क्रम में देखता है?

  1. Aस्तर क्रम (level order) में
  2. Bइंसर्शन के क्रम में
  3. Cहमेशा अवरोही क्रम में
  4. Dआरोही क्रमबद्ध क्रम में
12.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(log log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 6 शीर्ष और 13 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 6|E| = 13
k =
14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
510104221112ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से D तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(D) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: D
d(D) =
15.डेटाबेस और SQLमध्यम

किस ACID गुण का अर्थ है कि समवर्ती ट्रांज़ैक्शन एक-दूसरे के अधूरे परिवर्तन नहीं देखते?

  1. Aपरमाणुता (Atomicity)
  2. Bउपलब्धता (Availability)
  3. Cपृथक्करण (Isolation)
  4. Dस्थायित्व (Durability)
16.डेटाबेस और SQLकठिन

समवर्ती ट्रांज़ैक्शनों के शेड्यूल को सीरियलाइज़ेबल कब कहा जाता है?

  1. Aजब ट्रांज़ैक्शन केवल एक CPU पर चलते हैं
  2. Bजब कोई ट्रांज़ैक्शन कभी डेटा नहीं पढ़ता
  3. Cजब उसका प्रभाव उन्हीं ट्रांज़ैक्शनों के किसी क्रमिक (serial) निष्पादन के समतुल्य हो
  4. Dजब हर ट्रांज़ैक्शन को एक क्रम संख्या दी जाती है
17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

DNS में MX रिकॉर्ड क्या निर्दिष्ट करता है?

  1. Aकिसी अन्य होस्ट का उपनाम
  2. Bवेब सर्वर का IPv4 पता
  3. Cकिसी ज़ोन के नेम सर्वर
  4. Dवे मेल सर्वर जो किसी डोमेन के लिए ईमेल स्वीकार करते हैं
18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक ही स्विच पर VLAN 10 और VLAN 20 के होस्ट संचार नहीं कर पाते। क्या आवश्यक है?

  1. Aदोनों VLANs से जुड़ा एक हब
  2. Bहोस्टों के बीच एक लंबी केबल
  3. Cदोनों होस्टों पर एक ही MAC पता
  4. DVLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच
19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम
/24 → /2611111111111111111111111111000000नेटवर्क बिटहोस्ट बिट

नेटवर्क 192.168.10.0/24 को कम से कम 3 बराबर सबनेट में बाँटना है। यदि आप जितनी कम हो सकें उतनी बिटें उधार लें, तो हर सबनेट में कितने उपयोगी होस्ट H होंगे?

192.168.10.0/243 subnets
H =
20.IPv4 सबनेटिंगकठिन
अंतिम ऑक्टेट = 187112806413211618041211नेटवर्कहोस्ट

एक होस्ट का पता 10.20.156.187/28 है। उसके सबनेट के ब्रॉडकास्ट पते की अंतिम संख्या (चौथा ऑक्टेट) x क्या है?

10.20.156.187/28
x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 190

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

66 = 0100 0010
उलटा हुआ: 1011 1101
+1 → 1011 1110

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1011 1110₂ = 256 − 66 = 190

उत्तर

U = 190
2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 53

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

1 से दाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 1 स्थान दाईं ओर खिसकता है; दाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और बाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

0110 1011 >> 1
= 0011 0101

परिणाम का मान

0011 0101₂ = 53

उत्तर

R = 53
3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 5

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: q → r = 1, ¬p = 0, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, p ∨ ¬r = 1, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q → r = 0, ¬p = 0, (q → r) ∨ ¬p = 0, ¬r = 1, p ∨ ¬r = 1, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: q → r = 1, ¬p = 0, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, p ∨ ¬r = 1, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: q → r = 1, ¬p = 0, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 1, p ∨ ¬r = 1, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: q → r = 1, ¬p = 1, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, p ∨ ¬r = 0, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: q → r = 0, ¬p = 1, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 1, p ∨ ¬r = 1, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 1
p = 0, q = 0, r = 1: q → r = 1, ¬p = 1, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, p ∨ ¬r = 0, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: q → r = 1, ¬p = 1, (q → r) ∨ ¬p = 1, ¬r = 1, p ∨ ¬r = 1, ((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r) = 1

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

((q → r) ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬r): 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1
N = 5

उत्तर

N = 5
4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: a = 1, b = 0, c = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 0 0 | 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 0
a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0
a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

प्रति-उदाहरण

a = 1, b = 0, c = 1

उत्तर

a = 1, b = 0, c = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

ABC00011110010001131214050706

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B + C′)
(A + B)
(A′ + B′)

न्यूनतम POS रूप

F = (B + C′)(A + B)(A′ + B′)
N = 3

उत्तर

N = 3

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 5

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

T फ़्लिप-फ़्लॉप T = 1 के साथ हर आरोही कोर पर टॉगल करता है और T = 0 के साथ स्थिर रहता है।

1: T = 0 → Q = 0
2: T = 0 → Q = 0
3: T = 1 → Q = 1
4: T = 0 → Q = 1
5: T = 1 → Q = 0
6: T = 0 → Q = 0
7: T = 1 → Q = 1
8: T = 0 → Q = 1

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 5

उत्तर

क्लॉक कोर 5
7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: φ(351) = 216

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

अभाज्य गुणनखंड

351 = 33·13

टोशेंट

φ(351) = φ(27)·φ(13) = 18·12 = 216

उत्तर

φ(351) = 216
8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 1154516 mod 31 = 4

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

घातांक को घटाएँ

54516 mod 30 = 6
1154516 ≡ 116 (mod 31)

छोटी घात

116 mod 31 = 4

उत्तर

1154516 mod 31 = 4
9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · हाँ, क्योंकि Big O एक ऊपरी सीमा है और n², n³ से तेज़ नहीं बढ़ता

यह उत्तर क्यों है

Big O एक ऊपरी सीमा है, इसलिए कथन सत्य है पर सटीक नहीं; Θ(n²) सटीक वृद्धि दर बताता है।

उत्तर

B · हाँ, क्योंकि Big O एक ऊपरी सीमा है और n², n³ से तेज़ नहीं बढ़ता
10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · पिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक पिवट के साथ हर इनपुट के लिए अपेक्षित रनिंग टाइम O(n log n) होता है; खराब मामले अब भी मौजूद हैं लेकिन बहुत असंभाव्य हैं।

उत्तर

B · पिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना
11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · आरोही क्रमबद्ध क्रम में

यह उत्तर क्यों है

पहले बाएँ सबट्री, फिर नोड, फिर दाएँ सबट्री पर जाने से BST की कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में मिलती हैं।

उत्तर

D · आरोही क्रमबद्ध क्रम में
12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

B · O(n)
13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

6 − 1 = 5

हटाई जाने वाली कोरें

k = 13 − 5 = 8

उत्तर

k = 8
14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(D) = 15

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 5, C: 10
B (5): D: 15, E: 17
C (10): E: 14
E (14): F: 25
D (15): F: 17
F (17)

सबसे छोटा पथ

A → B → D
d(D) = 15

उत्तर

d(D) = 15
15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: C · पृथक्करण (Isolation)

यह उत्तर क्यों है

पृथक्करण समवर्ती ट्रांज़ैक्शनों को अलग रखता है; आइसोलेशन लेवल तय करते हैं कि इसे कितनी कड़ाई से लागू किया जाए।

उत्तर

C · पृथक्करण (Isolation)
16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: C · जब उसका प्रभाव उन्हीं ट्रांज़ैक्शनों के किसी क्रमिक (serial) निष्पादन के समतुल्य हो

यह उत्तर क्यों है

सीरियलाइज़ेबिलिटी समवर्तिता के लिए मुख्य शुद्धता मानदंड है: अंतर्गुंथित परिणाम किसी एक-एक करके चलने वाले क्रम के परिणाम के बराबर होना चाहिए।

उत्तर

C · जब उसका प्रभाव उन्हीं ट्रांज़ैक्शनों के किसी क्रमिक (serial) निष्पादन के समतुल्य हो
17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · वे मेल सर्वर जो किसी डोमेन के लिए ईमेल स्वीकार करते हैं

यह उत्तर क्यों है

MX (mail exchange) रिकॉर्ड प्राथमिकताओं के साथ मेल सर्वरों को सूचीबद्ध करते हैं, ताकि भेजने वाले सर्वर जानें कि उस डोमेन की मेल कहाँ पहुँचानी है।

उत्तर

D · वे मेल सर्वर जो किसी डोमेन के लिए ईमेल स्वीकार करते हैं
18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: D · VLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच

यह उत्तर क्यों है

VLAN परत 2 पर पृथक होते हैं, इसलिए उनके बीच का ट्रैफ़िक रूट करना पड़ता है, उदाहरण के लिए ट्रंक पर राउटर ("router on a stick") या परत 3 स्विच द्वारा।

उत्तर

D · VLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच
19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 62

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

उधार ली जाने वाली बिटें

22 = 4 ≥ 3 → b = 2, /26

प्रति सबनेट होस्ट

26 − 2 = 62

उत्तर

H = 62
20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 191

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

24 = 16

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊187/16⌋·16 = 176
ब्रॉडकास्ट: 176 + 16 − 1 = 191
उपयोगी होस्ट: 177 … 190

उत्तर

x = 191

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