कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −94 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −948 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

एक प्रणाली को 3727 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?

3727

b = bit

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

कौन-सा सूत्र c ↔ a के तार्किक रूप से तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

c ↔ a

1(c → a) ∧ (¬a → ¬c)
2(c → a) ∨ (a → c)
3c ∧ a
4(c → a) ∧ (a → c)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य p ∨ q; p और निष्कर्ष ¬q वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

p ∨ qp∴ ¬q

1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(2, 7, 8, 9, 11, 12, 14) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 7, 8, 9, 11, 12, 14)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक धनात्मक-कोर-ट्रिगर्ड JK फ़्लिप-फ़्लॉप Q = 0 से शुरू होता है और दिखाए गए निवेश पाता है। उस पहली क्लॉक कोर पर क्लिक करें जिस पर Q 1 से वापस 0 होता है।

Q₀ = 0JK

1क्लॉक कोर 1
2क्लॉक कोर 2
3क्लॉक कोर 3
4क्लॉक कोर 4
5क्लॉक कोर 5
6क्लॉक कोर 6

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

94 के मापांक में 7 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 94 और 7·x ≡ 1 (mod 94)।

a = 7n = 94

7⁻¹ mod 94 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

15x ≡ 39 (mod 42) हल करें। सबसे छोटा धनात्मक हल x दें।

15x ≡ 39 (mod 42)

x =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

वर्स्ट केस में तुलना-आधारित (comparison-based) सॉर्टिंग की निचली सीमा क्या है?

AΩ(n²)
BΩ(n log n)
CΩ(n)
DΩ(log n)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट पर बाइनरी सर्च O(log n) समय क्यों नहीं देती?

Aलिंक्ड लिस्ट नोड पर तुलनाएँ धीमी होती हैं
Bलिंक्ड लिस्ट सॉर्ट नहीं की जा सकतीं
Cबीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
Dबाइनरी सर्च को कम से कम दोगुनी मेमोरी चाहिए

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

AO(E)
BO(log V)
CO(V)
DO(1)

12.डेटा संरचनाएँकठिन

एक AVL नोड असंतुलित है क्योंकि उसके बाएँ चाइल्ड का दायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो गया (left-right स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

Aबाएँ चाइल्ड पर दायाँ रोटेशन, फिर नोड पर बायाँ रोटेशन
Bनोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
Cनोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
Dबाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₄ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₄

H =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ में A से D तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(D) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: D

d(D) =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

डर्टी रीड (dirty read) क्या है?

Aएक ही पंक्ति दो बार पढ़कर समान मान पाना
Bकिसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ
Cक्षतिग्रस्त डिस्क से डेटा पढ़ना
DWHERE क्लॉज़ के बिना डेटा पढ़ना

16.डेटाबेस और SQLकठिन

बिना उपयोगी इंडेक्स वाली दो बड़ी टेबलों के बीच समता जॉइन के लिए ऑप्टिमाइज़र अक्सर कौन-सा जॉइन एल्गोरिदम चुनता है?

Aक्रॉस जॉइन
Bइंडेक्स लुकअप के साथ नेस्टेड लूप जॉइन
Cहैश जॉइन
Dप्राइमरी की पर बिटमैप जॉइन

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

एक /26 IPv4 सबनेट में कितने उपयोग योग्य होस्ट पते होते हैं?

A30
B126
C62
D64

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक रिमोट-टर्मिनल एप्लिकेशन सुस्त लगता है क्योंकि छोटे कीस्ट्रोक पैकेट रोके जाते हैं। अक्सर कौन-सा TCP तंत्र ज़िम्मेदार होता है?

AThree-way handshake
BNagle का एल्गोरिदम
CSlow start
DFast retransmit

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक सबनेट मास्क 255.255.254.0 का उपयोग करता है। इसमें कितने उपयोगी होस्ट पते H हैं?

255.255.254.0

H =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.253.192/27 है। उसके नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.253.192/27

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 162

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

94 = 0101 1110

उलटा हुआ: 1010 0001

+1 → 1010 0010

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1010 0010₂ = 256 − 94 = 162

उत्तर

U = 162

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: b = 12 bit

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

दो की घातें

2¹¹ = 2048 < 3727

2¹² = 4096 ≥ 3727

उत्तर

b = 12

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: (c → a) ∧ (a → c)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

नियम

a ↔ b का अर्थ है कि निहितार्थ दोनों दिशाओं में सत्य है: (a → b) ∧ (b → a)।

c ↔ a ≡ (c → a) ∧ (a → c)

सत्यमान सारणी से जाँच

a = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, c = 0: 0 | 1 1 0 0

a = 0, c = 1: 0 | 0 1 0 0

a = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1

उत्तर

(c → a) ∧ (a → c)

पट्टी के बाद के स्तंभ विकल्प हैं, दिखाए गए क्रम में।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p = 1, q = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1: 1 1 | 0

p = 1, q = 0: 1 1 | 1

p = 0, q = 1: 1 0 | 0

p = 0, q = 0: 0 0 | 1

प्रति-उदाहरण

p = 1, q = 1

उत्तर

p = 1, q = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

AC′D′

AB′D

ABD′

A′B′CD′

A′BCD

न्यूनतम SOP रूप

F = AC′D′ + AB′D + ABD′ + A′B′CD′ + A′BCD

N = 5

उत्तर

N = 5

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: क्लॉक कोर 5

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

हर कोर के बाद Q

JK फ़्लिप-फ़्लॉप: 00 स्थिर रखता है, 01 रीसेट करता है (Q = 0), 10 सेट करता है (Q = 1), 11 टॉगल करता है।

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 1, K = 1 → Q = 1

3: J = 0, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 0 → Q = 1

5: J = 1, K = 1 → Q = 0

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

1 से 0 का पहला परिवर्तन

क्लॉक कोर 5

उत्तर

क्लॉक कोर 5

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 7⁻¹ mod 94 = 27

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·7 (mod 94) के रूप में लिखा जाता है।

r = 94, t = 0

r = 7, q = 13, t = 1

r = 3, q = 2, t = −13

r = 1, q = 3, t = 27

व्युत्क्रम

1 ≡ 27·7 (mod 94)

x = 27

जाँच: 7·27 = 189 = 2·94 + 1

उत्तर

7⁻¹ mod 94 = 27

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 11

gcd से भाग दें

gcd(15, 42) = 3

5x ≡ 13 (mod 14)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

5⁻¹ ≡ 3 (mod 14) → x ≡ 11 (mod 14)

42 के मापांक में हल

x ∈ {11, 25, 39}

x = 11

उत्तर

x = 11

9.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Ω(n log n)

यह उत्तर क्यों है

किसी भी तुलना-आधारित सॉर्ट को वर्स्ट केस में कम से कम log₂(n!) ≈ n log n तुलनाओं की आवश्यकता होती है। काउंटिंग सॉर्ट इससे बेहतर है क्योंकि यह तुलना नहीं करता।

उत्तर

B · Ω(n log n)

10.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है

यह उत्तर क्यों है

बाइनरी सर्च को बीच के तत्व तक O(1) पहुँच चाहिए; लिंक्ड लिस्ट पर वहाँ तक चलने में रैखिक समय लगता है, इसलिए कुल O(n) है।

उत्तर

C · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है

11.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

पंक्ति u, स्तंभ v की मैट्रिक्स प्रविष्टि तुरंत बताती है कि किनारा मौजूद है या नहीं; एडजेसेंसी लिस्ट में u के पड़ोसियों को स्कैन करना पड़ सकता है।

उत्तर

D · O(1)

12.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

पहला रोटेशन left-right स्थिति को left-left स्थिति में बदलता है, जिसे फिर असंतुलित नोड पर दायाँ रोटेशन ठीक करता है।

उत्तर

D · बाएँ चाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

उत्तर

H = 3

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(D) = 20

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 14, C: 13

C (13): E: 18, G: 28

B (14): D: 26, G: 27

E (18): D: 20, F: 20

D (20): G: 26

F (20)

G (26)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → D

d(D) = 20

उत्तर

d(D) = 20

15.डेटाबेस और SQL

उत्तर: B · किसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ

यह उत्तर क्यों है

डर्टी रीड बिना कमिट किए ऐसे परिवर्तन देखता है जो पूर्ववत हो सकते हैं; यह केवल read uncommitted लेवल पर संभव है।

उत्तर

B · किसी अन्य ट्रांज़ैक्शन द्वारा लिखा डेटा पढ़ना जो अभी कमिट नहीं हुआ

16.डेटाबेस और SQL

उत्तर: C · हैश जॉइन

यह उत्तर क्यों है

हैश जॉइन एक इनपुट पर हैश टेबल बनाता है और दूसरे से उसकी जाँच करता है, जो बिना इंडेक्स के बड़े equi-join के लिए अच्छा काम करता है।

उत्तर

C · हैश जॉइन

17.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: C · 62

यह उत्तर क्यों है

/26 में 6 होस्ट बिट होते हैं: 2⁶ = 64 पते, नेटवर्क और ब्रॉडकास्ट पते घटाने पर 62 उपयोग योग्य होस्ट।

उत्तर

C · 62

18.कंप्यूटर नेटवर्क

उत्तर: B · Nagle का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Nagle का एल्गोरिदम पहले के डेटा की पावती न होने तक छोटे सेगमेंटों को बंडल करने की प्रतीक्षा करता है। इससे बैंडविड्थ बचती है पर इंटरैक्टिव ट्रैफ़िक में देरी बढ़ती है।

उत्तर

B · Nagle का एल्गोरिदम

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: H = 510

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उपसर्ग लंबाई

255.255.254.0 = /23

उपयोगी होस्ट

2⁹ − 2 = 510

उत्तर

H = 510

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 192

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

2⁵ = 32

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊192/32⌋·32 = 192

ब्रॉडकास्ट: 192 + 32 − 1 = 223

उपयोगी होस्ट: 193 … 222

उत्तर

x = 192

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