कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

−13 को 8-बिट दो के पूरक पैटर्न के रूप में लिखें। पैटर्न को अचिह्नित द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ें: दशमलव में इसका मान U क्या है?

N = −138 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 1101 1001 << 3 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

1101 1001<< 3

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)))

N =

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य p ∨ r; p और निष्कर्ष ¬r वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

p ∨ rp∴ ¬r

1p = 1, r = 1
2p = 1, r = 0
3p = 0, r = 1
4p = 0, r = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 5, 6) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 5, 6)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 7, 9, 10) + d(6, 8, 11, 13) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने गुणन पद N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 7, 9, 10) + d(6, 8, 11, 13)

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

18 के मापांक में 7 का प्रतिलोम ज्ञात करें: वह संख्या x जिसके लिए 0 < x < 18 और 7·x ≡ 1 (mod 18)।

a = 7n = 18

7⁻¹ mod 18 =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

10x ≡ 4 (mod 12) हल करें। सबसे छोटा धनात्मक हल x दें।

10x ≡ 4 (mod 12)

x =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मर्ज सॉर्ट के लिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग कोई वास्तविक गति-वृद्धि क्यों नहीं देती?

Aमर्ज सॉर्ट की कोई रिकर्सिव संरचना नहीं है
Bमर्ज सॉर्ट पहले से ही O(n) है
Cडायनेमिक प्रोग्रामिंग केवल ग्राफ़ समस्याओं पर काम करती है, ऐरे पर नहीं
Dइसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बॉटम-अप विधि से n अनसॉर्टेड तत्वों से बाइनरी हीप बनाने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n)

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

A1 2 4 5 3
B4 5 2 3 1
C4 2 5 1 3
D1 2 3 4 5

12.डेटा संरचनाएँकठिन

रेडिक्स ट्री (कंप्रेस्ड ट्राई) साधारण ट्राई में क्या सुधार करता है?

Aयह हर शब्द का केवल पहला अक्षर रखता है
Bयह हर नोड के चाइल्ड को आवृत्ति के अनुसार सॉर्ट करता है
Cयह एकल-चाइल्ड नोडों की शृंखलाओं को एक स्ट्रिंग-लेबल वाले किनारे में मिला देता है
Dयह हर शब्द को अलग नोडों के बजाय रूट पर हैश टेबल में संग्रहीत करता है

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7

1यूलर परिपथ
2यूलर पथ, परिपथ नहीं
3दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 10

W =

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक employees टेबल में manager_id कॉलम है जो किसी अन्य कर्मचारी को संदर्भित करता है। हर कर्मचारी को उसके मैनेजर के नाम के साथ कैसे सूचीबद्ध करते हैं?

Aकेवल GROUP BY manager_id का उपयोग करके
BUNION ALL और WHERE फ़िल्टर का उपयोग करके टेबल को स्वयं से मिलाकर
Cडिस्क पर टेबल की दूसरी प्रति बनाकर
Dदो उपनामों का उपयोग करके employees टेबल को स्वयं से जोड़कर

16.डेटाबेस और SQLकठिन

फ़ैंटम रीड (phantom read) क्या है?

Aऐसा डेटा पढ़ना जो कभी लिखा ही नहीं गया
Bदोहराई गई क्वेरी किसी अन्य कमिट हुए ट्रांज़ैक्शन द्वारा डाली गई नई पंक्तियाँ लौटाती है
Cएक क्वेरी जो कोई पंक्ति नहीं लौटाती
Dबिना कमिट किए बदलाव पढ़ना

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

कौन-सा एकल प्रीफ़िक्स 192.168.0.0/24 और 192.168.1.0/24 दोनों को सारांशित (summarise) करता है?

A192.168.0.0/22
B192.168.1.0/23
C192.168.0.0/25
D192.168.0.0/23

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक ही स्विच पर VLAN 10 और VLAN 20 के होस्ट संचार नहीं कर पाते। क्या आवश्यक है?

Aहोस्टों के बीच एक लंबी केबल
BVLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच
Cदोनों होस्टों पर एक ही MAC पता
Dदोनों VLANs से जुड़ा एक हब

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

एक विभाग को एक ही सबनेट में 1797 होस्ट पते चाहिए। पर्याप्त होने वाली सबसे लंबी उपसर्ग लंबाई p (सबसे छोटा सबनेट) क्या है?

1797 hosts

p =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

नेटवर्क 192.168.6.0/24 को इन LAN के लिए VLSM से बाँटा जाता है: A: 12 होस्ट, B: 15 होस्ट, C: 6 होस्ट, D: 17 होस्ट, E: 3 होस्ट। सबनेट .0 से ऊपर की ओर आवंटित किए जाते हैं, सबसे अधिक होस्ट वाला LAN पहले, हर एक को सबसे छोटा फ़िट होने वाला सबनेट। LAN A के नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

A: 12B: 15C: 6D: 17E: 3

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 243

स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

13 = 0000 1101

उलटा हुआ: 1111 0010

+1 → 1111 0011

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1111 0011₂ = 256 − 13 = 243

उत्तर

U = 243

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 200

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

बिट-दर-बिट

3 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 3 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

1101 1001 << 3

= 1100 1000

परिणाम का मान

1100 1000₂ = 200

उत्तर

R = 200

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 5

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬p = 0, r ∨ ¬p = 1, q ∧ (r ∨ ¬p) = 1, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 1, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬p = 0, r ∨ ¬p = 0, q ∧ (r ∨ ¬p) = 0, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 0, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, ¬p = 0, r ∨ ¬p = 1, q ∧ (r ∨ ¬p) = 0, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 0, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬p = 0, r ∨ ¬p = 0, q ∧ (r ∨ ¬p) = 0, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 0, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, ¬p = 1, r ∨ ¬p = 1, q ∧ (r ∨ ¬p) = 1, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 1, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, ¬p = 1, r ∨ ¬p = 1, q ∧ (r ∨ ¬p) = 1, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 1, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, ¬p = 1, r ∨ ¬p = 1, q ∧ (r ∨ ¬p) = 0, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 0, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, ¬p = 1, r ∨ ¬p = 1, q ∧ (r ∨ ¬p) = 0, (r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p)) = 0, ¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))) = 1

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

¬((r → q) ∧ (q ∧ (r ∨ ¬p))): 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1

N = 5

उत्तर

N = 5

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p = 1, r = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, r = 1: 1 1 | 0

p = 1, r = 0: 1 1 | 1

p = 0, r = 1: 1 0 | 0

p = 0, r = 0: 0 0 | 1

प्रति-उदाहरण

p = 1, r = 1

उत्तर

p = 1, r = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 3

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

1 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

B′C

A′C

ABC′

न्यूनतम SOP रूप

F = B′C + A′C + ABC′

N = 3

उत्तर

N = 3

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 4

प्रमुख प्रभाव्य

1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।

B′CD′, A′CD′, AC′D, AB′, A′BD′, A′BC

न्यूनतम आवरण

F = B′CD′ + AB′ + A′BD′ + A′BC

N = 4

उत्तर

N = 4

उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 7⁻¹ mod 18 = 13

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म

हर शेषफल r को r ≡ t·7 (mod 18) के रूप में लिखा जाता है।

r = 18, t = 0

r = 7, q = 2, t = 1

r = 4, q = 1, t = −2

r = 3, q = 1, t = 3

r = 1, q = 3, t = −5

व्युत्क्रम

1 ≡ −5·7 (mod 18)

x = 13

जाँच: 7·13 = 91 = 5·18 + 1

उत्तर

7⁻¹ mod 18 = 13

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 4

gcd से भाग दें

gcd(10, 12) = 2

5x ≡ 2 (mod 6)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

5⁻¹ ≡ 5 (mod 6) → x ≡ 4 (mod 6)

12 के मापांक में हल

x ∈ {4, 10}

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

विषम शीर्ष

A, B, C, F → 4

दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 52

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

AC (1): लें

EF (7): लें

DF (8): लें

DE (9): छोड़ें, चक्र बनता है

B · VLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: p = 21

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

आवश्यक होस्ट बिट

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1797

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1797 → h = 11

उपसर्ग लंबाई

p = 32 − 11 = 21

उत्तर

p = /21

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 64

VLSM: हर LAN को सबसे छोटा सबनेट मिलता है जिसके लिए 2ʰ − 2 ≥ उसकी होस्ट संख्या, अर्थात उपसर्ग 32 − h। सबसे बड़े सबनेट पहले आवंटित करने से हर ब्लॉक अपने आकार के गुणज पर संरेखित रहता है, इसलिए नेटवर्क पते ब्लॉक आकार जोड़ते जाने से मिलते हैं।

प्रति LAN ब्लॉक आकार

D: 17 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

B: 15 होस्ट → 2⁵ = 32 (/27)

A: 12 होस्ट → 2⁴ = 16 (/28)

C: 6 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

E: 3 होस्ट → 2³ = 8 (/29)

आवंटन, सबसे बड़ा पहले

D: .0 – .31

B: .32 – .63

A: .64 – .79

C: .80 – .87

E: .88 – .95

उत्तर

x = 64

LAN A: 192.168.6.64/28।

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