कंप्यूटर विज्ञान के मूल सिद्धांत: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्या पद्धतियाँ

स्थानीय मान: बाइनरी 2^k, ऑक्टल 8^k, हेक्स 16^k
दशमलव में: Σ d_k·b^k
दशमलव से: आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
हेक्स ↔ बाइनरी: एक हेक्स अंक = 4 बिट
टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट: बिट उलटें और 1 जोड़ें

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

मूल गेट: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
बूलीय नियम: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
डी मॉर्गन: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
कार्नो मानचित्र का क्रम: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ खानों का समूह: k चर खो देता है
4-से-1 मल्टीप्लेक्सर: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
फ़्लिप-फ़्लॉप: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
काउंटर: n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
रिपल काउंटर: f_max = 1/(n·t_pd)
रिंग और जॉनसन काउंटर: n और 2n अवस्थाएँ

विधि

परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

IPv4 सबनेटिंग

प्रति सबनेट होस्ट: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ब्लॉक आकार: 256 − (mask octet)
नेटवर्क पता: IP AND मास्क
ब्रॉडकास्ट पता: IP OR (NOT mask): सभी होस्ट बिट 1
n उधार लिए बिट से सबनेट: 2ⁿ

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्या पद्धतियाँमध्यम

बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −55 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?

N = −558 bit

U =

2.संख्या पद्धतियाँकठिन

बिट को 0101 0000 >> 3 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?

0101 0000>> 3

R =

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

आप (p ∧ r) → q को प्रतिधनात्मक द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। इसके बजाय कौन-सा निहितार्थ सिद्ध करेंगे? उस पर क्लिक करें।

(p ∧ r) → q

1¬(p ∧ r) → ¬q
2(p ∧ r) ∧ ¬q
3¬q → ¬(p ∧ r)
4q → (p ∧ r)

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य r → p; p और निष्कर्ष r वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

r → pp∴ r

1p = 1, r = 1
2p = 1, r = 0
3p = 0, r = 1
4p = 0, r = 0

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 8, 13) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 8, 13)

N =

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन

एक mod-13 काउंटर को 13 भिन्न अवस्थाओं से गुज़रना है। उसे कम से कम कितने फ़्लिप-फ़्लॉप n चाहिए?

N = 13

n =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

यूलर का टोशेंट φ(1323) ज्ञात करें, यानी 1 से 1323 तक के वे पूर्णांक जो 1323 से सहअभाज्य हैं।

n = 1323 = 3³·7²

φ(1323) =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

79 अभाज्य है। 2⁶⁶⁷⁷⁰ mod 79 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 79k = 66770

2⁶⁶⁷⁷⁰ mod 79 =

9.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(2ⁿ)

10.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

P और NP के बारे में कौन-सा कथन सही है?

AP की हर समस्या NP में भी है
BNP समस्याओं को जल्दी सत्यापित नहीं किया जा सकता
Cयह सिद्ध हो चुका है कि P ≠ NP
DNP का अर्थ है "not polynomial"

11.डेटा संरचनाएँमध्यम

कुंजियाँ 50, 30, 70, 20, 40 इसी क्रम में एक ख़ाली बाइनरी सर्च ट्री में डाली जाती हैं। 30 का बायाँ चाइल्ड क्या है?

12.डेटा संरचनाएँकठिन

रेड-ब्लैक ट्री के नियम n कुंजियों वाले ट्री की ऊँचाई के बारे में क्या गारंटी देते हैं?

Aऊँचाई ठीक log₂ n है
Bऊँचाई अधिकतम 2 log₂(n + 1) है
Cऊँचाई अधिकतम log₂ n + 1 है
Dऊँचाई अधिकतम n / 2 है

13.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₆ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₆

H =

14.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष B से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 5 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Bk = 5

1कोर AB
2कोर AC
3कोर BC
4कोर BD
5कोर CE
6कोर DE
7कोर DF
8कोर EF
9कोर BE

15.डेटाबेस और SQLमध्यम

एक कॉलम में मान 10, 20 और NULL हैं। AVG(col) क्या लौटाता है?

A15
B10
CNULL
D30

16.डेटाबेस और SQLकठिन

कोरिलेटेड सबक्वेरी (correlated subquery) वह होती है जो:

Aबाहरी क्वेरी से पहले केवल एक बार चलती है और अपना परिणाम हर पंक्ति के लिए कैश कर लेती है
Bफ़ॉरेन की से दो टेबलों को जोड़ती है
Cबाहरी क्वेरी के कॉलमों को संदर्भित करती है और प्रत्येक बाहरी पंक्ति के लिए मूल्यांकित होती है
Dकेवल एग्रीगेट फ़ंक्शन का उपयोग करती है

17.कंप्यूटर नेटवर्कमध्यम

किसी होस्ट पर डिफ़ॉल्ट गेटवे की क्या भूमिका है?

Aयह वह राउटर है जिसका उपयोग अन्य नेटवर्कों के ट्रैफ़िक के लिए होता है
Bयह MAC पते आवंटित करता है
Cयह वह स्विच पोर्ट है जिससे होस्ट जुड़ा है
Dयह DNS सर्वर है

18.कंप्यूटर नेटवर्ककठिन

एक ही स्विच पर VLAN 10 और VLAN 20 के होस्ट संचार नहीं कर पाते। क्या आवश्यक है?

Aदोनों होस्टों पर एक ही MAC पता
Bहोस्टों के बीच एक लंबी केबल
CVLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच
Dदोनों VLANs से जुड़ा एक हब

19.IPv4 सबनेटिंगमध्यम

नेटवर्क 10.59.96.0/20 को उपसर्ग /27 वाले समान सबनेट में बाँटा गया है। कितने सबनेट N हैं?

10.59.96.0/20/27

N =

20.IPv4 सबनेटिंगकठिन

एक होस्ट का पता 10.20.246.83/29 है। उसके नेटवर्क पते का चौथा ऑक्टेट x क्या है?

10.20.246.83/29

x =

3विलयन

1.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: U = 201

बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।

उलटें और एक जोड़ें

55 = 0011 0111

उलटा हुआ: 1100 1000

+1 → 1100 1001

अचिह्नित रूप में पढ़ें

1100 1001₂ = 256 − 55 = 201

उत्तर

U = 201

2.संख्या पद्धतियाँ

उत्तर: R = 10

बिट-दर-बिट

3 से दाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 3 स्थान दाईं ओर खिसकता है; दाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और बाईं ओर शून्य आ जाते हैं।

0101 0000 >> 3

= 0000 1010

परिणाम का मान

0000 1010₂ = 10

उत्तर

R = 10

3.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ¬q → ¬(p ∧ r)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = p ∧ r, b = q

प्रतिधनात्मक

¬b → ¬a = ¬q → ¬(p ∧ r)

उत्तर

¬q → ¬(p ∧ r)

प्रतिधनात्मक मूल कथन के तुल्य है, इसलिए उसे सिद्ध करने से कथन सिद्ध हो जाता है।

4.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: p = 1, r = 0

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, r = 0: 1 1 | 0

p = 0, r = 1: 0 0 | 1

p = 0, r = 0: 1 0 | 0

प्रति-उदाहरण

p = 1, r = 0

उत्तर

p = 1, r = 0

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

5.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: N = 5

कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।

0 को समूहित करें

हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।

(B′ + C′)

(A′ + C′)

(A + B′ + D′)

(A′ + B + D′)

(A′ + B′ + D)

न्यूनतम POS रूप

F = (B′ + C′)(A′ + C′)(A + B′ + D′)(A′ + B + D′)(A′ + B′ + D)

N = 5

उत्तर

N = 5

6.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप

उत्तर: n = 4

फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत f_clk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।

फ़्लिप-फ़्लॉप की संख्या

2ⁿ ≥ 13 → n = 4 (2⁴ = 16)

उत्तर

n = 4

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: φ(1323) = 756

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

अभाज्य गुणनखंड

1323 = 3³·7²

टोशेंट

φ(1323) = φ(27)·φ(49) = 18·42 = 756

उत्तर

φ(1323) = 756

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 2⁶⁶⁷⁷⁰ mod 79 = 4

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

B · ऊँचाई अधिकतम 2 log₂(n + 1) है

13.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 60

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

उत्तर

H = 60

14.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BD

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. AB (7)

2. AC (9)

3. BE (15)

4. EF (13)

5. BD (16)

VLAN परत 2 पर पृथक होते हैं, इसलिए उनके बीच का ट्रैफ़िक रूट करना पड़ता है, उदाहरण के लिए ट्रंक पर राउटर ("router on a stick") या परत 3 स्विच द्वारा।

उत्तर

C · VLANs के बीच रूटिंग के लिए एक राउटर या परत 3 स्विच

19.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: N = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

उधार लिए गए बिट

27 − 20 = 7

सबनेटों की संख्या

N = 2⁷ = 128

उत्तर

N = 128

हर /27 सबनेट में 2⁵ − 2 = 30 उपयोगी होस्ट हैं।

20.IPv4 सबनेटिंग

उत्तर: x = 80

IPv4 सबनेटिंग: एक पते में 32 बिट होती हैं। उपसर्ग /p बताता है कि शुरुआती कितनी बिटें नेटवर्क की पहचान करती हैं; शेष 32 − p बिटें होस्ट को क्रमांकित करती हैं। एक सबनेट में 2³²⁻ᵖ पते होते हैं, पर पहला (नेटवर्क पता) और अंतिम (ब्रॉडकास्ट पता) होस्ट को नहीं दिए जा सकते, इसलिए 2³²⁻ᵖ − 2 होस्ट आते हैं। अपवाद: /31 (पॉइंट-टू-पॉइंट लिंक, RFC 3021) अपने दोनों 2 पतों का उपयोग होस्ट के लिए करता है, और /32 केवल एक पता है (एक होस्ट या लूपबैक)।

ब्लॉक आकार

2³ = 8

इस होस्ट का सबनेट

नेटवर्क: ⌊83/8⌋·8 = 80

ब्रॉडकास्ट: 80 + 8 − 1 = 87

उपयोगी होस्ट: 81 … 86

उत्तर

x = 80

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