डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

  1. Aकेवल यादृच्छिक इनपुट
  2. Bकेवल एक लूप
  3. Cओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
  4. Dकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

  1. Aबहुपद समय में हल की जा सकती है
  2. BNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
  3. CNP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
  4. Dहल करना असंभव है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक क्यू दो स्टैक से बनाई गई है: "in" स्टैक पर push करें, और "out" स्टैक से pop करें, ख़ाली होने पर उसे "in" से फिर भरें। प्रति ऑपरेशन एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग के लिए कान का एल्गोरिदम बार-बार in-degree 0 वाले शीर्ष हटाता है। उन शीर्षों को कौन-सी संरचना रखती है?

  1. Aसभी देखे गए किनारों का स्टैक
  2. Bएक एडजेसेंसी मैट्रिक्स जो दर्ज करे कि कौन-से शीर्ष पहले ही हटाए जा चुके हैं
  3. Cin-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)
  4. Dout-degree के अनुसार क्रमित मैक्स-हीप
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
76143591111210ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

C · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP-complete समस्याएँ NP में सबसे कठिन हैं; इनमें से किसी एक के लिए बहुपद एल्गोरिदम पूरे NP के लिए एक एल्गोरिदम दे देगा।

उत्तर

C · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

हर तत्व कुल मिलाकर अधिकतम दो बार push और pop होता है, इसलिए भले ही एक बार फिर से भरने में O(n) लगे, अनुक्रम पर औसत O(1) है।

उत्तर

D · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · in-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)

यह उत्तर क्यों है

तैयार शीर्ष एक क्यू में रखे जाते हैं; एक को हटाने से उसके पड़ोसियों की in-degree घटती है, और जो 0 तक पहुँचें उन्हें जोड़ दिया जाता है, जिससे O(V + E) समय मिलता है।

उत्तर

C · in-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 18

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 7, C: 6
C (6): E: 9, G: 17
B (7): G: 8
G (8): D: 20
E (9): F: 18
F (18)
D (20)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 18

उत्तर

d(F) = 18

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