डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बॉटम-अप तालिका से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बड़े n के लिए n! और 2ⁿ की तुलना कैसी है?

  1. A2ⁿ, n! से तेज़ बढ़ता है
  2. Bn!, O(n²) है
  3. Cदोनों एक ही दर से बढ़ते हैं
  4. Dn!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

"{[()]}" में कोष्ठक संतुलित हैं या नहीं, यह जाँचने के लिए कौन-सी डेटा संरचना उपयोग होती है?

  1. Aबाइनरी सर्च ट्री
  2. Bक्यू
  3. Cस्टैक
  4. Dहैश टेबल
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी संरचना ऐरे में आकार k की हर विंडो का अधिकतम कुल O(n) में निकालने देती है?

  1. Aविंडो के तत्वों की सिंगली लिंक्ड लिस्ट
  2. Bहर विंडो के लिए फिर से बनाया गया मिन-हीप
  3. Cमान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
  4. Dखिसकाकर अपडेट किया जाने वाला सॉर्टेड ऐरे
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक E से B तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

0 से n तक तालिका भरने में प्रति प्रविष्टि एक जोड़ लगता है, इसलिए कार्य घातांकी के बजाय रैखिक है।

उत्तर

D · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · n!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

n ≥ 4 के लिए n!, 2ⁿ से अधिक है, और अनुपात असीमित रूप से बढ़ता है क्योंकि n! का हर अतिरिक्त गुणक 2 से बड़ा है।

उत्तर

D · n!, 2ⁿ से तेज़ बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

हर खुलने वाले कोष्ठक को push करें और बंद होने वाला कोष्ठक आने पर pop करें; वह pop किए गए कोष्ठक से मेल खाना चाहिए और अंत में स्टैक ख़ाली होना चाहिए।

उत्तर

C · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक

यह उत्तर क्यों है

डीक का आगे वाला तत्व हमेशा विंडो का अधिकतम होता है; हर इंडेक्स डीक में एक बार आता और जाता है, इसलिए कार्य रैखिक है।

उत्तर

C · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

A, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

एक कदम और

(M³)EB = 1·1 + 2·0 + 0·1 + 0·1 + 2·0 + 1·0 = 1

उत्तर

N = 1

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