डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्विकसॉर्ट की वर्स्ट-केस टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. Aदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  2. BX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
  3. Cदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  4. Dकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
  2. Bतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  3. Cहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
  4. Dलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डबल हैशिंग मुख्य रूप से लीनियर प्रोबिंग की कौन-सी समस्या घटाती है?

  1. Aटेबल में कुंजियाँ संग्रहीत करने की आवश्यकता
  2. Bहैश फ़ंक्शन की आवश्यकता
  3. Cप्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
  4. Dकिसी कुंजी का मान पढ़ने की O(n) लागत
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 8 शीर्ष और 15 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 8|E| = 15
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी बंद वॉक C से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

लगातार खराब पिवट (जैसे पहले से सॉर्टेड इनपुट और पहले तत्व को पिवट बनाना) से विभाजन असंतुलित होते हैं, जिससे O(n²) मिलता है। औसत केस O(n log n) है।

उत्तर

D · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

C · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं

यह उत्तर क्यों है

लीनियर प्रोबिंग 1 के क़दम से चलती है, इसलिए भरी शृंखलाएँ बढ़ती और मिलती हैं; डबल हैशिंग क़दम के आकार के लिए दूसरा हैश उपयोग करती है ताकि अलग कुंजियाँ अलग अनुक्रम प्रोब करें।

उत्तर

C · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

8 − 1 = 7

हटाई जाने वाली कोरें

k = 15 − 7 = 8

उत्तर

k = 8
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

एक कदम और

(M³)CC = 1·1 + 1·1 + 2·0 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 2

उत्तर

N = 2

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