डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सॉर्टेड ऐरे में किसी भी तुलना-आधारित खोज को वर्स्ट केस में Ω(log n) तुलनाएँ क्यों चाहिए?

  1. An संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए
  2. Bबाइनरी सर्च ही एकमात्र संभव एल्गोरिदम है, और उसे log₂ n तुलनाएँ चाहिए
  3. Cहर तुलना में लघुगणकीय समय लगता है
  4. Dहर तत्व की कम से कम एक बार तुलना होनी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ के एडजेसेंसी मैट्रिक्स के बारे में क्या सत्य है?

  1. Aयह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
  2. Bयह हमेशा ऊपरी त्रिकोणीय होता है
  3. Cहर पंक्ति में ठीक एक 1 होता है
  4. Dइसके मुख्य विकर्ण में हमेशा 1 होते हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी सर्च ट्री से दो चाइल्ड वाले नोड को हटाना आमतौर पर कैसे किया जाता है?

  1. Aउसके नीचे के सबट्री को शुरू से दोबारा बनाकर और उसमें मौजूद हर कुंजी को फिर से डालकर
  2. Bउसे रूट से अदला-बदली करके
  3. Cउसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
  4. Dपूरे सबट्री को हटाकर
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 16 शीर्ष और 24 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 2 की कितनी वॉक E से D तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(V × E)

यह उत्तर क्यों है

V − 1 दौरों में से हर एक सभी E किनारों को रिलैक्स करता है, जिससे O(VE) मिलता है; बदले में यह ऋणात्मक किनारा भार सँभालता है।

उत्तर

A · O(V × E)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · n संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए

यह उत्तर क्यों है

हर तुलना शेष संभावनाओं के समुच्चय को अधिकतम आधा करती है, इसलिए n स्थितियों में अंतर करने के लिए कम से कम log₂ n तुलनाएँ चाहिए।

उत्तर

A · n संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है

यह उत्तर क्यों है

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ में किनारा {u, v} का अर्थ है कि M[u][v] और M[v][u] दोनों सेट हैं, इसलिए मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के बराबर है।

उत्तर

A · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर

यह उत्तर क्यों है

in-order उत्तराधिकारी के अधिकतम एक चाइल्ड होता है, इसलिए उसकी कुंजी को हटाए जाने वाले नोड में कॉपी करने के बाद उसे आसानी से हटाया जा सकता है।

उत्तर

C · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 9

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

16 − 1 = 15

हटाई जाने वाली कोरें

k = 24 − 15 = 9

उत्तर

k = 9
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

उत्तर

N = 1

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