डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आप n तत्वों का ऐरे एक बार सॉर्ट करते हैं और फिर बाइनरी सर्च से k सदस्यता प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कुल लागत क्या है?

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

किसी मैक्सिमल मैचिंग के हर किनारे के दोनों सिरे लेने से एक वर्टेक्स कवर मिलता है। यह कवर कितना अच्छा है?

  1. Aन्यूनतम का अधिकतम log n गुना
  2. Bहमेशा एक मिनिमम वर्टेक्स कवर
  3. Cमिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना
  4. Dइष्टतम की तुलना में अज्ञात गुणवत्ता का
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री और रेड-ब्लैक ट्री किस बात की गारंटी देते हैं?

  1. Aकिसी भी नोड के दो चाइल्ड नहीं होते
  2. Bहर स्थिति में स्थिर समय में खोज
  3. Cकुंजियाँ इंसर्शन के क्रम में संग्रहीत होती हैं
  4. Dपुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट को इन-प्लेस उलटने की समय और अतिरिक्त स्पेस लागत क्या है?

  1. AO(n) समय और O(n) अतिरिक्त स्पेस
  2. BO(1) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
  3. CO(n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
  4. DO(n log n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 18 शीर्ष और 27 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 18|E| = 27
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
18232621213ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n log n + k log n)

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टिंग में O(n log n) और हर प्रश्न में O(log n) लगता है; जब k बड़ा हो तो यह k रैखिक स्कैन (O(nk)) से बेहतर है।

उत्तर

D · O(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · मिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना

यह उत्तर क्यों है

मैचिंग किनारे कोई शीर्ष साझा नहीं करते, इसलिए इष्टतम को प्रति किनारा कम से कम एक शीर्ष चाहिए, जबकि यह विधि दो लेती है: एक 2-सन्निकटन (2-approximation)।

उत्तर

C · मिनिमम वर्टेक्स कवर के आकार का अधिकतम दोगुना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · पुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई

यह उत्तर क्यों है

स्व-संतुलित ट्री ऊँचाई को लघुगणकीय बनाए रखते हैं, इसलिए खोज, इंसर्ट और डिलीट सबसे खराब स्थिति में O(log n) होते हैं।

उत्तर

D · पुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस

यह उत्तर क्यों है

तीन पॉइंटर (previous, current, next) रखने से आप नए नोड आवंटित किए बिना एक पास में हर लिंक उलट सकते हैं।

उत्तर

C · O(n) समय और O(1) अतिरिक्त स्पेस
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 10

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

18 − 1 = 17

हटाई जाने वाली कोरें

k = 27 − 17 = 10

उत्तर

k = 10
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: C

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 1, C: 8
2. B (1): C: 3, D: 4, E: 14
3. C (3): E: 5
4. D (4): F: 6
5. E (5)
6. F (6)

चक्र 3

C

उत्तर

C

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