डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्या यह कहना सही है कि एक O(n²) एल्गोरिदम O(n³) भी है?

  1. Aनहीं, क्योंकि Big O को हमेशा फ़ंक्शन की सटीक वृद्धि दर बतानी चाहिए
  2. Bहाँ, पर केवल तब जब n 100 से छोटा हो
  3. Cनहीं, क्योंकि बड़े n के लिए n³, n² से छोटा है
  4. Dहाँ, क्योंकि Big O एक ऊपरी सीमा है और n², n³ से तेज़ नहीं बढ़ता
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कुक–लेविन प्रमेय ने क्या स्थापित किया?

  1. Aहॉल्टिंग समस्या अनिर्णेय (undecidable) है
  2. Bबूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
  3. CP, NP के बराबर नहीं है
  4. Dहर NP समस्या घातांकी समय में हल हो सकती है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लोड फ़ैक्टर सीमा पार होने के बाद जब हैश टेबल rehash करती है, तो क्या होता है?

  1. Aजगह बनाने के लिए सबसे पुरानी कुंजियाँ हटा दी जाती हैं
  2. Bएक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
  3. Cकेवल टकराने वाली कुंजियाँ टेबल के अंत में एक नई ओवरफ़्लो लिस्ट में ले जाई जाती हैं
  4. Dमौजूदा कुंजियाँ उसी स्थान पर सॉर्ट की जाती हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

मानक ब्लूम फ़िल्टर से तत्वों को उनके बिट साफ़ करके सीधे क्यों नहीं हटाया जा सकता?

  1. Aहटाने से फ़ॉल्स पॉज़िटिव दर 100% हो जाएगी
  2. Bवे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे
  3. Cब्लूम फ़िल्टर पूरे तत्व संग्रहीत करते हैं, और हैश हो जाने के बाद उन्हें दोबारा खोजा नहीं जा सकता
  4. Dब्लूम फ़िल्टर के बिट बनने के बाद बदले नहीं जा सकते
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 42 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
314236636ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से D तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(D) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: D
d(D) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · हाँ, क्योंकि Big O एक ऊपरी सीमा है और n², n³ से तेज़ नहीं बढ़ता

यह उत्तर क्यों है

Big O एक ऊपरी सीमा है, इसलिए कथन सत्य है पर सटीक नहीं; Θ(n²) सटीक वृद्धि दर बताता है।

उत्तर

D · हाँ, क्योंकि Big O एक ऊपरी सीमा है और n², n³ से तेज़ नहीं बढ़ता
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है

यह उत्तर क्यों है

कुक और लेविन ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि NP की हर समस्या बहुपदी समय में SAT में रिड्यूस होती है, इसलिए SAT पहली ज्ञात NP-complete समस्या थी।

उत्तर

B · बूलियन संतुष्टि समस्या (SAT) NP-complete है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है

यह उत्तर क्यों है

चूँकि इंडेक्स टेबल आकार के मॉड्यूलो से निकलता है, सभी कुंजियों को नई, बड़ी टेबल में rehash करना होता है; दोगुना करने पर यह एमॉर्टाइज़्ड O(1) रहता है।

उत्तर

B · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · वे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे

यह उत्तर क्यों है

साझा बिट साफ़ करने से कोई दूसरा तत्व अनुपस्थित दिखेगा; काउंटिंग ब्लूम फ़िल्टर हटाने की अनुमति देने के लिए बिट के बजाय काउंटर रखते हैं।

उत्तर

B · वे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 14

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 32 = 2(L + 10) − 2
L = 14

उत्तर

L = 14

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(D) = 5

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 3
B (3): C: 17, D: 5, E: 9
D (5): F: 11
E (9): C: 12
F (11)
C (12)

सबसे छोटा पथ

A → B → D
d(D) = 5

उत्तर

d(D) = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms