डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

प्रिम का एल्गोरिदम मिनिमम स्पैनिंग ट्री कैसे बनाता है?

  1. Aयह सभी किनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करता है और हर किनारे को तब तक जोड़ता है जब तक वह फ़ॉरेस्ट में चक्र (cycle) न बनाए
  2. Bयह ब्रेड्थ-फ़र्स्ट सर्च चलाकर BFS ट्री रखता है
  3. Cयह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
  4. Dयह सबसे महँगा किनारा तब तक हटाता है जब तक कोई चक्र न बचे
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

log(n!) के लिए कौन-सी सीमा सही है?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप को बिना किसी पॉइंटर के ऐरे में क्यों संग्रहीत किया जा सकता है?

  1. Aऐरे अपने आप कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में रखते हैं, इसलिए पॉइंटर की आवश्यकता नहीं होती
  2. Bयह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
  3. Cहीप की सभी कुंजियाँ समान होती हैं
  4. Dहीप में कभी 100 से अधिक तत्व नहीं होते
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रूट 50, बाएँ सबट्री 30 (चाइल्ड 20, 40) और दाएँ सबट्री 70 (चाइल्ड 60, 80) वाले BST में रूट को इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी का उपयोग करके हटाया जाता है। कौन-सी कुंजी नया रूट बनती है?

  1. A40
  2. B60
  3. C70
  4. D80
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
9119121038127ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · यह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है

यह उत्तर क्यों है

क्रॉसिंग किनारों की प्रायोरिटी क्यू के साथ प्रिम का एल्गोरिदम बाइनरी हीप से O(E log V) में चलता है।

उत्तर

C · यह एक प्रारंभिक शीर्ष से एक ट्री बढ़ाता है, और ट्री से बाहर जाने वाला सबसे सस्ता किनारा जोड़ता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · Θ(n log n)

यह उत्तर क्यों है

log(n!) ≤ n log n, और सबसे बड़े n / 2 गुणक log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) देते हैं; इसीलिए तुलना-आधारित सॉर्टिंग को Ω(n log n) चाहिए।

उत्तर

D · Θ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्णता का अर्थ है कोई अंतराल नहीं, इसलिए इंडेक्स i के चाइल्ड हमेशा 2i + 1 और 2i + 2 पर होते हैं।

उत्तर

B · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · 60

यह उत्तर क्यों है

दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड 60 है, इसलिए 60, 50 का स्थान लेता है और उसकी पुरानी स्थिति हटा दी जाती है; पूर्ववर्ती (predecessor) के उपयोग से 40 मिलता।

उत्तर

B · 60
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

A, B, C, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 16

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 9, C: 1
C (1): B: 2, E: 13, G: 9
B (2): D: 11
G (9)
D (11): F: 21
E (13): F: 16
F (16)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 16

उत्तर

d(F) = 16

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