डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कई लाइब्रेरी सॉर्टिंग रूटीन बहुत छोटे सबऐरे के लिए इंसर्शन सॉर्ट पर क्यों चली जाती हैं?

  1. Aबड़े इनपुट पर इंसर्शन सॉर्ट किसी भी अन्य सॉर्टिंग एल्गोरिदम से कम मेमोरी उपयोग करता है
  2. Bइंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
  3. Cरिकर्सिव एल्गोरिदम 10 से कम तत्वों वाले ऐरे नहीं सँभाल सकते
  4. Dइंसर्शन सॉर्ट वर्स्ट केस में O(n log n) है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट पर बाइनरी सर्च O(log n) समय क्यों नहीं देती?

  1. Aलिंक्ड लिस्ट नोड पर तुलनाएँ धीमी होती हैं
  2. Bलिंक्ड लिस्ट सॉर्ट नहीं की जा सकतीं
  3. Cबीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
  4. Dबाइनरी सर्च को कम से कम दोगुनी मेमोरी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

इंडेक्स 0 से शुरू होने वाले ऐरे में संग्रहीत बाइनरी हीप में इंडेक्स i वाले नोड का पैरेंट कहाँ है?

  1. Aइंडेक्स 2i + 1 पर
  2. Bइंडेक्स i − 1 पर
  3. Cइंडेक्स ⌊i / 2⌋ + 1 पर
  4. Dइंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हीपसॉर्ट के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aयह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
  2. Bयह किसी भी इनपुट पर O(n) समय में चलता है
  3. Cयह स्टेबल है और O(n) अतिरिक्त मेमोरी चाहता है
  4. Dइसे अतिरिक्त भंडारण के रूप में बाइनरी सर्च ट्री चाहिए, इसलिए यह O(n) अतिरिक्त मेमोरी लेता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 10 शीर्ष और 19 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 10|E| = 19
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
95151212171611ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 9
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · इंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है

यह उत्तर क्यों है

छोटे n के लिए इंसर्शन सॉर्ट का सरल लूप क्विकसॉर्ट या मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन ओवरहेड को पीछे छोड़ देता है, भले ही वह O(n²) हो।

उत्तर

B · इंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है

यह उत्तर क्यों है

बाइनरी सर्च को बीच के तत्व तक O(1) पहुँच चाहिए; लिंक्ड लिस्ट पर वहाँ तक चलने में रैखिक समय लगता है, इसलिए कुल O(n) है।

उत्तर

C · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर

यह उत्तर क्यों है

i के चाइल्ड 2i + 1 और 2i + 2 पर हैं, इसलिए i का पैरेंट ⌊(i − 1) / 2⌋ है; 1-आधारित इंडेक्सिंग में यह ⌊i / 2⌋ है।

उत्तर

D · इंडेक्स ⌊(i − 1) / 2⌋ पर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है

यह उत्तर क्यों है

हीपसॉर्ट एक मैक्स-हीप बनाता है और उसी ऐरे के भीतर n बार अधिकतम निकालता है; लंबी दूरी के स्वैप समान कुंजियों का क्रम बदल सकते हैं।

उत्तर

A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 10

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

10 − 1 = 9

हटाई जाने वाली कोरें

k = 19 − 9 = 10

उत्तर

k = 10
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 33

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BD (1): लें
CE (2): लें
AC (5): लें
AB (9): लें
BE (11): छोड़ें, चक्र बनता है
DE (12): छोड़ें, चक्र बनता है
BC (15): छोड़ें, चक्र बनता है
EF (16): लें

कुल भार

W = 1 + 2 + 5 + 9 + 16 = 33

उत्तर

W = 33

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