डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यदि कोई किसी एक NP-complete समस्या के लिए बहुपदी-समय एल्गोरिदम खोज ले, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

  1. Aसभी घातांकी-समय एल्गोरिदम तुरंत रैखिक समय में चलने लगेंगे
  2. Bहॉल्टिंग समस्या निर्णेय हो जाएगी
  3. CNP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
  4. Dकेवल वही एक समस्या P में चली जाएगी
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ऐरे के हर तत्व के लिए आप उसके दाईं ओर का अगला बड़ा तत्व कुल O(n) समय में चाहते हैं। कौन-सी संरचना मदद करती है?

  1. Aहर तत्व के लिए फिर से बनाया गया बाइनरी सर्च ट्री
  2. Bएक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है
  3. Cसभी तत्वों की हैश टेबल
  4. Dतत्वों के हर युग्म को रखने वाली क्यू
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
19381827191110ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 10
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n स्तर हैं जिनमें से हर एक में स्थिर कार्य है, जैसे किसी ऐरे के रिकर्सिव योग में।

उत्तर

D · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP

यह उत्तर क्यों है

चूँकि पूरा NP किसी भी NP-complete समस्या में बहुपदी समय में रिड्यूस होता है, एक के लिए तेज़ एल्गोरिदम सबके लिए तेज़ एल्गोरिदम देता है।

उत्तर

C · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

पंक्ति u, स्तंभ v की मैट्रिक्स प्रविष्टि तुरंत बताती है कि किनारा मौजूद है या नहीं; एडजेसेंसी लिस्ट में u के पड़ोसियों को स्कैन करना पड़ सकता है।

उत्तर

D · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · एक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है

यह उत्तर क्यों है

बाएँ से दाएँ स्कैन करते हुए, वर्तमान से छोटे हर स्टैक्ड तत्व को pop करें (वर्तमान तत्व उनका उत्तर है), फिर उसे push करें; हर तत्व अधिकतम दो बार खिसकता है।

उत्तर

B · एक स्टैक जो उत्तर की प्रतीक्षा कर रहे तत्वों को रखता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

A, C, D, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 32

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

AB (1): लें
EF (2): लें
BC (3): लें
GB (7): लें
CE (8): लें
AC (9): छोड़ें, चक्र बनता है
GE (10): छोड़ें, चक्र बनता है
GD (11): लें

कुल भार

W = 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 11 = 32

उत्तर

W = 32

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