डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

वर्स्ट केस में तुलना-आधारित (comparison-based) सॉर्टिंग की निचली सीमा क्या है?

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. Aदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  2. Bदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  3. Cकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
  4. DX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

यदि कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में डाली जाएँ, तो n नोड वाले बाइनरी सर्च ट्री की सबसे खराब स्थिति में ऊँचाई क्या होगी?

  1. A1
  2. Blog₂ n
  3. Cn (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
  4. D√n
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी डेटा संरचना O(1) get और put के साथ LRU (least recently used) कैश को सपोर्ट करती है?

  1. Aएक अकेला क्रमबद्ध ऐरे
  2. Bकेवल बाइनरी सर्च ट्री
  3. Cडबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप
  4. Dकेवल स्टैक
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
141551159116ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Ω(n log n)

यह उत्तर क्यों है

किसी भी तुलना-आधारित सॉर्ट को वर्स्ट केस में कम से कम log₂(n!) ≈ n log n तुलनाओं की आवश्यकता होती है। काउंटिंग सॉर्ट इससे बेहतर है क्योंकि यह तुलना नहीं करता।

उत्तर

A · Ω(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

C · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)

यह उत्तर क्यों है

क्रमबद्ध इंसर्शन से n ऊँचाई वाला विकृत (degenerate) ट्री बनता है, जिससे खोज O(n) हो जाती है। संतुलित ट्री इसे रोकते हैं।

उत्तर

C · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप

यह उत्तर क्यों है

हैश मैप नोड्स को O(1) में खोजता है और डबली लिंक्ड लिस्ट उपयोग किए गए तत्वों को आगे ले जाती है तथा पीछे से O(1) में हटाती है।

उत्तर

C · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 26

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 54 = 2(L + 15) − 2
L = 26

उत्तर

L = 26

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 28

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 14, C: 15
B (14): D: 19, E: 20
C (15)
D (19): F: 28
E (20)
F (28)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 28

उत्तर

d(F) = 28

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