डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) कार्य करें — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n³)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्या 22n, O(2ⁿ) में है?

  1. Aनहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
  2. Bहाँ, क्योंकि दोनों घातांकी हैं
  3. Cहाँ, क्योंकि Big O में घातांक के स्थिर गुणक हमेशा अनदेखे किए जाते हैं
  4. Dनहीं, क्योंकि 22n, 2ⁿ से धीमा बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री हर नोड पर कौन-सी संतुलन शर्त बनाए रखता है?

  1. Aहर नोड लाल या काले रंग का होता है
  2. Bसभी लीफ़ ठीक समान गहराई पर होते हैं
  3. Cबाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
  4. Dहर नोड के दोनों सबट्री में ठीक समान संख्या में नोड होते हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

आपको O(k) मेमोरी से n संख्याओं की एक धारा (stream) से k सबसे छोटे मान रखने हैं। कौन-सा तरीका O(n log k) समय में काम करता है?

  1. Aसभी n मानों का सॉर्टेड ऐरे
  2. Bसभी n मान रखने वाला मिन-हीप, जिससे अंत में k सबसे छोटे मान निकाले जाते हैं
  3. Cअंतिम k मानों की FIFO क्यू
  4. Dआकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 2 की कितनी वॉक C से E तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n²)

यह उत्तर क्यों है

भीतरी भाग कुल n(n + 1) / 2 बार चलता है, जो फिर भी द्विघाती है।

उत्तर

D · O(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · नहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है

यह उत्तर क्यों है

घातांक में जोड़ा गया स्थिरांक एक स्थिर गुणक देता है, पर घातांक को गुणा करने वाला स्थिरांक आधार और वृद्धि दर बदल देता है।

उत्तर

A · नहीं, क्योंकि 22n = 4ⁿ और 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ असीमित रूप से बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर

यह उत्तर क्यों है

बैलेंस फ़ैक्टर (बाएँ की ऊँचाई − दाएँ की ऊँचाई) −1, 0 या 1 होना चाहिए; इंसर्ट और डिलीट के बाद रोटेशन इसे बहाल करते हैं।

उत्तर

C · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · आकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए

यह उत्तर क्यों है

मैक्स-हीप का रूट रखा गया सबसे बड़ा मान है; कोई भी छोटा नया मान उसे O(log k) में बदल देता है, इसलिए हीप में हमेशा अब तक के k सबसे छोटे मान रहते हैं।

उत्तर

D · आकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

विषम शीर्ष

C, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)CE = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 + 0·0 = 1

उत्तर

N = 1

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