डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

किसी समस्या में इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure) होने का क्या अर्थ है?

  1. Aएक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
  2. Bसमस्या का ठीक एक इष्टतम समाधान है, जो हर उप-समस्या में साझा होता है
  3. Cसमस्या को स्थिर समय में हल किया जा सकता है
  4. Dहर उप-समस्या का आकार समान है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास NP की कौन-सी परिभाषा सही है?

  1. Aसमस्याएँ जिन्हें कोई एल्गोरिदम हल नहीं कर सकता
  2. Bसमस्याएँ जो बहुपदी समय में हल नहीं हो सकतीं
  3. Cसमस्याएँ जो बहुपदी नहीं हैं
  4. Dनिर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

क्षमता n वाले ऐरे में संग्रहीत सर्कुलर क्यू में इंडेक्स i के बाद अगली स्थिति कैसे निकाली जाती है?

  1. Ai + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में डिलीशन अक्सर "टॉम्बस्टोन" चिह्न से क्यों किया जाता है?

  1. Aटॉम्बस्टोन हैशिंग को तेज़ करते हैं
  2. Bस्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
  3. Cसुरक्षा के लिए हटाई गई कुंजियाँ हमेशा रखनी पड़ती हैं, इसलिए स्लॉट दोबारा उपयोग नहीं हो सकते
  4. Dइससे टेबल क्रमबद्ध हो जाती है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 3
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
8541516121069ABCDEFG

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष G से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 5 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Gk = 5
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर BD
  3. 3कोर CE
  4. 4कोर DE
  5. 5कोर DF
  6. 6कोर EF
  7. 7कोर GB
  8. 8कोर GD
  9. 9कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · एक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम और डायनेमिक प्रोग्रामिंग दोनों के सही उत्तर देने के लिए इष्टतम उप-संरचना आवश्यक है।

उत्तर

A · एक इष्टतम समाधान उसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से बनाया जा सकता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · निर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

NP समस्या के लिए प्रस्तावित समाधान (प्रमाणपत्र) जल्दी जाँचा जा सकता है, उदाहरण के लिए यह सत्यापित करना कि कोई दिया गया मान-निर्धारण किसी बूलियन सूत्र को संतुष्ट करता है।

उत्तर

D · निर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · (i + 1) mod n

यह उत्तर क्यों है

मॉड्यूलो ऑपरेशन इंडेक्स n − 1 को वापस 0 पर ले आता है, इसलिए तत्वों को खिसकाए बिना ऐरे का दोबारा उपयोग होता है।

उत्तर

C · (i + 1) mod n
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है

यह उत्तर क्यों है

यदि हटाया गया स्लॉट खाली हो जाए, तो बाद की खोजें जल्दी रुक सकती हैं और प्रोब श्रृंखला में आगे रखी गई कुंजियाँ छूट सकती हैं।

उत्तर

B · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 5

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

उत्तर

L = 5

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर CE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. GD (6)
2. BD (5)
3. AB (8)
4. GE (9)
5. CE (4)
6. EF (12)

कोर संख्या 5

CE

उत्तर

कोर CE

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