डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बाइनरी हीप के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ के एडजेसेंसी मैट्रिक्स के बारे में क्या सत्य है?

  1. Aयह हमेशा ऊपरी त्रिकोणीय होता है
  2. Bयह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
  3. Cहर पंक्ति में ठीक एक 1 होता है
  4. Dइसके मुख्य विकर्ण में हमेशा 1 होते हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रेडिक्स ट्री (कंप्रेस्ड ट्राई) साधारण ट्राई में क्या सुधार करता है?

  1. Aयह हर नोड के चाइल्ड को आवृत्ति के अनुसार सॉर्ट करता है
  2. Bयह हर शब्द का केवल पहला अक्षर रखता है
  3. Cयह हर शब्द को अलग नोडों के बजाय रूट पर हैश टेबल में संग्रहीत करता है
  4. Dयह एकल-चाइल्ड नोडों की शृंखलाओं को एक स्ट्रिंग-लेबल वाले किनारे में मिला देता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
94101331617ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(2ⁿ)

यह उत्तर क्यों है

हर स्तर पर कॉलों की संख्या दोगुनी होती है और n स्तर हैं, इसलिए कुल लगभग 2ⁿ है, जैसे टावर्स ऑफ़ हनोई में।

उत्तर

C · O(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O((V + E) log V)

यह उत्तर क्यों है

V extract-min और अधिकतम E decrease-key ऑपरेशन होते हैं, हर एक O(log V); फ़िबोनाची हीप इसे O(E + V log V) तक सुधारता है।

उत्तर

A · O((V + E) log V)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है

यह उत्तर क्यों है

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ में किनारा {u, v} का अर्थ है कि M[u][v] और M[v][u] दोनों सेट हैं, इसलिए मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के बराबर है।

उत्तर

B · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह एकल-चाइल्ड नोडों की शृंखलाओं को एक स्ट्रिंग-लेबल वाले किनारे में मिला देता है

यह उत्तर क्यों है

बिना शाखा वाले पथों को संकुचित करने से नोडों की संख्या और प्रयुक्त मेमोरी घटती है, जबकि प्रीफ़िक्स खोज बनी रहती है।

उत्तर

D · यह एकल-चाइल्ड नोडों की शृंखलाओं को एक स्ट्रिंग-लेबल वाले किनारे में मिला देता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 29

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

CE (3): लें
AC (4): लें
AB (9): लें
BC (10): छोड़ें, चक्र बनता है
BD (13): लें

कुल भार

W = 3 + 4 + 9 + 13 = 29

उत्तर

W = 29

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