डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

गैर-ऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में एक स्रोत से सबसे छोटे पथ कौन-सा एल्गोरिदम खोजता है?

  1. ADijkstra का एल्गोरिदम
  2. BKruskal का एल्गोरिदम
  3. Cहर स्थिति में Bellman–Ford आवश्यक है
  4. Dडेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (DFS)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + n log n का हल क्या है?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक सड़क नेटवर्क में 100,000 जंक्शन हैं, हर एक लगभग 4 अन्य से जुड़ा है। कौन-सा निरूपण सबसे उपयुक्त है?

  1. Aएडजेसेंसी लिस्ट
  2. Bशीर्षों का एक सॉर्टेड ऐरे
  3. Cएडजेसेंसी मैट्रिक्स
  4. Dकिनारों का बाइनरी हीप
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रूट 50, बाएँ सबट्री 30 (चाइल्ड 20, 40) और दाएँ सबट्री 70 (चाइल्ड 60, 80) वाले BST में रूट को इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी का उपयोग करके हटाया जाता है। कौन-सी कुंजी नया रूट बनती है?

  1. A70
  2. B60
  3. C80
  4. D40
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K5 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K5
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
811455812159ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E
d(E) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Dijkstra का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Dijkstra का एल्गोरिदम गैर-ऋणात्मक वेट के साथ काम करता है; Bellman–Ford ऋणात्मक वेट संभालता है; Kruskal मिनिमम स्पैनिंग ट्री बनाता है।

उत्तर

A · Dijkstra का एल्गोरिदम
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(n log² n)

यह उत्तर क्यों है

स्तर k लगभग n log(n / 2ᵏ) कार्य करता है, और log n स्तरों पर योग Θ(n log² n) देता है, जो मास्टर प्रमेय की विस्तारित दूसरी स्थिति है।

उत्तर

C · Θ(n log² n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एडजेसेंसी लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

मैट्रिक्स को 1010 सेल चाहिए होंगे, लगभग सभी ख़ाली; एडजेसेंसी लिस्ट केवल लगभग 400,000 किनारा प्रविष्टियाँ संग्रहीत करती है।

उत्तर

A · एडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · 60

यह उत्तर क्यों है

दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड 60 है, इसलिए 60, 50 का स्थान लेता है और उसकी पुरानी स्थिति हटा दी जाती है; पूर्ववर्ती (predecessor) के उपयोग से 40 मिलता।

उत्तर

B · 60
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

उत्तर

H = 12
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 6

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 8, C: 1
C (1): E: 6, G: 16
E (6): D: 14
B (8): D: 13
D (13): F: 25
G (16)
F (25)

सबसे छोटा पथ

A → C → E
d(E) = 6

उत्तर

d(E) = 6

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