डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n/2) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

इंसर्शन सॉर्ट सॉर्टेड इनपुट पर O(n) में चलता है। क्या यह तुलना-आधारित सॉर्टिंग की Ω(n log n) निचली सीमा का खंडन करता है?

  1. Aहाँ, इसलिए निचली सीमा ग़लत है
  2. Bहाँ, पर केवल 100 से छोटे ऐरे के लिए
  3. Cनहीं, क्योंकि इंसर्शन सॉर्ट तुलना-आधारित सॉर्ट नहीं है
  4. Dनहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक क्यू दो स्टैक से बनाई गई है: "in" स्टैक पर push करें, और "out" स्टैक से pop करें, ख़ाली होने पर उसे "in" से फिर भरें। प्रति ऑपरेशन एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस इंडेक्स के लिए प्रायः साधारण B-ट्री के बजाय B+ ट्री का उपयोग क्यों करते हैं?

  1. AB+ ट्री आंतरिक नोडों के रूप में बाइनरी नोड उपयोग करते हैं, जिससे डिस्क रीड घटते हैं
  2. Bसभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
  3. CB+ ट्री डेटा केवल रूट में संग्रहीत करते हैं
  4. DB+ ट्री को संतुलित होने की आवश्यकता नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 4 वाले 2 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
6581991117ABCDE

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष A से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Ak = 3
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

हर चरण पर समस्या आधी होती है और प्रति चरण स्थिर कार्य होता है, इसलिए लगभग log₂ n चरण होते हैं।

उत्तर

D · O(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं

यह उत्तर क्यों है

सीमा कहती है कि हर तुलना-आधारित सॉर्ट को n आकार के किसी इनपुट पर लगभग n log n तुलनाएँ चाहिए; विशेष इनपुट बहुत तेज़ हो सकते हैं।

उत्तर

D · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(1)

यह उत्तर क्यों है

हर तत्व कुल मिलाकर अधिकतम दो बार push और pop होता है, इसलिए भले ही एक बार फिर से भरने में O(n) लगे, अनुक्रम पर औसत O(1) है।

उत्तर

A · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

B+ ट्री में आंतरिक नोड केवल खोज का मार्गदर्शन करते हैं और लीफ़ कुंजी क्रम में जुड़े होते हैं, इसलिए रेंज प्रश्न पहली कुंजी खोजकर फिर लीफ़ के साथ चलता है।

उत्तर

B · सभी रिकॉर्ड जुड़े हुए लीफ़ में होते हैं, जिससे रेंज स्कैन कुशल होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 18

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

उत्तर

L = 18

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर CE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. AC (5)
2. AB (6)
3. CE (9)
4. DE (11)

कोर संख्या 3

CE

उत्तर

कोर CE

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