डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आप n तत्वों का ऐरे एक बार सॉर्ट करते हैं और फिर बाइनरी सर्च से k सदस्यता प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कुल लागत क्या है?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास NP की कौन-सी परिभाषा सही है?

  1. Aसमस्याएँ जिन्हें कोई एल्गोरिदम हल नहीं कर सकता
  2. Bनिर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
  3. Cसमस्याएँ जो बहुपदी नहीं हैं
  4. Dसमस्याएँ जो बहुपदी समय में हल नहीं हो सकतीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

कुंजियाँ 50, 30, 70, 20, 40 इसी क्रम में एक ख़ाली बाइनरी सर्च ट्री में डाली जाती हैं। 30 का बायाँ चाइल्ड क्या है?

  1. A50
  2. B70
  3. C40
  4. D20
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सर्कुलर बफ़र में front == rear का अर्थ ख़ाली या भरा दोनों हो सकता है। इन्हें अलग पहचानने का एक सामान्य तरीका क्या है?

  1. Aएक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
  2. Bजब भी front, rear के बराबर हो बफ़र साफ़ कर दें, ताकि स्थिति ख़ाली रहे
  3. Cfront और rear को एक ही वेरिएबल में संग्रहीत करें
  4. Dबफ़र का आकार दो की घात रखें
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक C से F तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n log n + k log n)

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टिंग में O(n log n) और हर प्रश्न में O(log n) लगता है; जब k बड़ा हो तो यह k रैखिक स्कैन (O(nk)) से बेहतर है।

उत्तर

A · O(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · निर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

NP समस्या के लिए प्रस्तावित समाधान (प्रमाणपत्र) जल्दी जाँचा जा सकता है, उदाहरण के लिए यह सत्यापित करना कि कोई दिया गया मान-निर्धारण किसी बूलियन सूत्र को संतुष्ट करता है।

उत्तर

B · निर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · 20

यह उत्तर क्यों है

20, 50 से और 30 से छोटा है, इसलिए वह 30 का बायाँ चाइल्ड बनता है; 40 उसका दायाँ चाइल्ड बनता है।

उत्तर

D · 20
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें

यह उत्तर क्यों है

गिनती के साथ ख़ाली का अर्थ count = 0 और भरा का अर्थ count = capacity है; एक ख़ाली स्लॉट के साथ भरा (rear + 1) mod n == front के रूप में परिभाषित होता है।

उत्तर

A · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

A, B → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

एक कदम और

(M³)CF = 1·0 + 2·0 + 3·0 + 1·0 + 1·1 + 1·0 = 1

उत्तर

N = 1

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