डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मर्ज सॉर्ट के लिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग कोई वास्तविक गति-वृद्धि क्यों नहीं देती?

  1. Aमर्ज सॉर्ट की कोई रिकर्सिव संरचना नहीं है
  2. Bमर्ज सॉर्ट पहले से ही O(n) है
  3. Cइसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है
  4. Dडायनेमिक प्रोग्रामिंग केवल ग्राफ़ समस्याओं पर काम करती है, ऐरे पर नहीं
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

क्लास NP की कौन-सी परिभाषा सही है?

  1. Aसमस्याएँ जिन्हें कोई एल्गोरिदम हल नहीं कर सकता
  2. Bसमस्याएँ जो बहुपदी समय में हल नहीं हो सकतीं
  3. Cसमस्याएँ जो बहुपदी नहीं हैं
  4. Dनिर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आकार 7 की हैश टेबल h(k) = k mod 7 और लीनियर प्रोबिंग का उपयोग करती है। 10 डालने के बाद 17 कहाँ संग्रहीत होगा?

  1. Aइंडेक्स 6
  2. Bइंडेक्स 4
  3. Cइंडेक्स 3
  4. Dइंडेक्स 0
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी संरचना ऐरे में आकार k की हर विंडो का अधिकतम कुल O(n) में निकालने देती है?

  1. Aविंडो के तत्वों की सिंगली लिंक्ड लिस्ट
  2. Bहर विंडो के लिए फिर से बनाया गया मिन-हीप
  3. Cखिसकाकर अपडेट किया जाने वाला सॉर्टेड ऐरे
  4. Dमान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 5 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 34 × deg 53 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
515421087142ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · इसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है

यह उत्तर क्यों है

मर्ज सॉर्ट के आधे भाग असंयुक्त हैं और हर एक एक बार हल होता है; DP केवल तब मदद करती है जब उप-समस्याएँ दोहराई जाती हैं, जैसे फ़िबोनाची में।

उत्तर

C · इसकी उप-समस्याएँ अतिव्यापी नहीं हैं, इसलिए दोबारा उपयोग करने को कुछ नहीं है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · निर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं

यह उत्तर क्यों है

NP समस्या के लिए प्रस्तावित समाधान (प्रमाणपत्र) जल्दी जाँचा जा सकता है, उदाहरण के लिए यह सत्यापित करना कि कोई दिया गया मान-निर्धारण किसी बूलियन सूत्र को संतुष्ट करता है।

उत्तर

D · निर्णय समस्याएँ जिनके "हाँ" उत्तर किसी प्रमाणपत्र (certificate) के साथ बहुपदी समय में सत्यापित हो सकते हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · इंडेक्स 4

यह उत्तर क्यों है

10 mod 7 = 3 और 17 mod 7 = 3; इंडेक्स 3 भरा है, इसलिए लीनियर प्रोबिंग अगला स्लॉट, इंडेक्स 4, आज़माती है।

उत्तर

B · इंडेक्स 4
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक

यह उत्तर क्यों है

डीक का आगे वाला तत्व हमेशा विंडो का अधिकतम होता है; हर इंडेक्स डीक में एक बार आता और जाता है, इसलिए कार्य रैखिक है।

उत्तर

D · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 17

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17

उत्तर

L = 17

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 14

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): C: 5
C (5): B: 20, E: 7, G: 7
E (7): D: 17, F: 14
G (7)
F (14)
D (17)
B (20)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 14

उत्तर

d(F) = 14

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