डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

फ़्लॉयड–वॉर्शल एल्गोरिदम क्या गणना करता है, और कितनी तेज़ी से?

  1. Aशीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
  2. Bएक मिनिमम स्पैनिंग ट्री, O(E log V) में
  3. Cएक स्रोत शीर्ष से बाकी सभी तक सबसे छोटे पथ, O(V + E) में
  4. Dएक टोपोलॉजिकल क्रम, O(V²) में
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम स्रोत से पहुँच योग्य ऋणात्मक-भार चक्र का पता कैसे लगाता है?

  1. Aयह डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम दो बार चलाकर दोनों दूरी परिणामों की तुलना करता है
  2. BV − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है
  3. Cयह डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च से चक्र गिनता है
  4. Dयह जाँचता है कि क्या किसी किनारे का भार ऋणात्मक है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री और रेड-ब्लैक ट्री किस बात की गारंटी देते हैं?

  1. Aकुंजियाँ इंसर्शन के क्रम में संग्रहीत होती हैं
  2. Bकिसी भी नोड के दो चाइल्ड नहीं होते
  3. Cहर स्थिति में स्थिर समय में खोज
  4. Dपुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रूट 50, बाएँ सबट्री 30 (चाइल्ड 20, 40) और दाएँ सबट्री 70 (चाइल्ड 60, 80) वाले BST में रूट को इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी का उपयोग करके हटाया जाता है। कौन-सी कुंजी नया रूट बनती है?

  1. A40
  2. B80
  3. C60
  4. D70
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 2 की कितनी वॉक A से D तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में

यह उत्तर क्यों है

फ़्लॉयड–वॉर्शल एक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम है जो बारी-बारी से हर शीर्ष को मध्यवर्ती बिंदु के रूप में अनुमति देता है, O(V³) समय में।

उत्तर

A · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · V − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है

यह उत्तर क्यों है

सभी वास्तविक सबसे छोटी दूरियाँ V − 1 दौरों में मिल जाती हैं; यदि कोई किनारा अब भी सुधारा जा सके, तो ऋणात्मक चक्र अवश्य मौजूद है।

उत्तर

B · V − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · पुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई

यह उत्तर क्यों है

स्व-संतुलित ट्री ऊँचाई को लघुगणकीय बनाए रखते हैं, इसलिए खोज, इंसर्ट और डिलीट सबसे खराब स्थिति में O(log n) होते हैं।

उत्तर

D · पुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 60

यह उत्तर क्यों है

दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड 60 है, इसलिए 60, 50 का स्थान लेता है और उसकी पुरानी स्थिति हटा दी जाती है; पूर्ववर्ती (predecessor) के उपयोग से 40 मिलता।

उत्तर

C · 60
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 23

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 47 = 2(L + 13) − 2
L = 23

उत्तर

L = 23

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)AD = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 = 1

उत्तर

N = 1

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