डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

m और n लंबाई की स्ट्रिंग्स के लॉन्गेस्ट कॉमन सबसीक्वेंस के लिए मानक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सी तकनीक किसी भी इनपुट पर क्विकसॉर्ट को अपेक्षित (expected) O(n log n) रनिंग टाइम देती है?

  1. Aक्विकसॉर्ट चलाने से पहले इनपुट को सॉर्ट करना
  2. Bकेवल बाईं ओर रिकर्शन का उपयोग करना
  3. Cहमेशा पहला तत्व चुनना
  4. Dपिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी मिन-हीप में extract-min कैसे काम करता है?

  1. Aअंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें
  2. Bऐरे का अंतिम तत्व हटाएँ
  3. Cरूट हटाकर सभी तत्वों को एक स्थान बाएँ खिसकाएँ
  4. Dनए न्यूनतम के लिए सभी लीफ़ खोजें
4.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी सर्च ट्री से दो चाइल्ड वाले नोड को हटाना आमतौर पर कैसे किया जाता है?

  1. Aउसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
  2. Bउसके नीचे के सबट्री को शुरू से दोबारा बनाकर और उसमें मौजूद हर कुंजी को फिर से डालकर
  3. Cउसे रूट से अदला-बदली करके
  4. Dपूरे सबट्री को हटाकर
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 2 की कितनी वॉक E से A तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(mn)

यह उत्तर क्यों है

तालिका में (m + 1)(n + 1) सेल होते हैं और हर एक की गणना उसके पड़ोसियों से O(1) में होती है।

उत्तर

B · O(mn)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · पिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक पिवट के साथ हर इनपुट के लिए अपेक्षित रनिंग टाइम O(n log n) होता है; खराब मामले अब भी मौजूद हैं लेकिन बहुत असंभाव्य हैं।

उत्तर

D · पिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · अंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें

यह उत्तर क्यों है

अंतिम तत्व रूट का रिक्त स्थान भरता है और हीप गुण पूरा होने तक अपने छोटे चाइल्ड से स्वैप होता है, जिसमें O(log n) लगता है।

उत्तर

A · अंतिम तत्व को रूट पर ले जाकर नीचे sift करें
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर

यह उत्तर क्यों है

in-order उत्तराधिकारी के अधिकतम एक चाइल्ड होता है, इसलिए उसकी कुंजी को हटाए जाने वाले नोड में कॉपी करने के बाद उसे आसानी से हटाया जा सकता है।

उत्तर

A · उसे उसके in-order उत्तराधिकारी (या पूर्ववर्ती) से बदलकर और फिर उस नोड को हटाकर
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)EA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

उत्तर

N = 2

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