डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सॉर्टेड ऐरे में आप दोनों सिरों से एक-एक पॉइंटर को भीतर की ओर खिसकाते हुए ऐसे दो तत्व खोजते हैं जिनका योग लक्ष्य के बराबर हो। टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

  1. A0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
  2. Bकोई भी रूप नहीं
  3. Cदोनों रूप
  4. Dफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ के एडजेसेंसी मैट्रिक्स के बारे में क्या सत्य है?

  1. Aइसके मुख्य विकर्ण में हमेशा 1 होते हैं
  2. Bयह हमेशा ऊपरी त्रिकोणीय होता है
  3. Cहर पंक्ति में ठीक एक 1 होता है
  4. Dयह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हीपसॉर्ट के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aइसे अतिरिक्त भंडारण के रूप में बाइनरी सर्च ट्री चाहिए, इसलिए यह O(n) अतिरिक्त मेमोरी लेता है
  2. Bयह स्टेबल है और O(n) अतिरिक्त मेमोरी चाहता है
  3. Cयह किसी भी इनपुट पर O(n) समय में चलता है
  4. Dयह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 17 शीर्ष और 17 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 17|E| = 17
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1318101493167ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n)

यह उत्तर क्यों है

यदि योग बहुत छोटा हो तो बायाँ पॉइंटर दाएँ खिसकता है, बहुत बड़ा हो तो दायाँ पॉइंटर बाएँ, इसलिए अधिकतम n चरण होते हैं।

उत्तर

B · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

जब वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं, तो पहले सर्वोत्तम अनुपात इष्टतम है; 0/1 नैपसैक में ऊँचे अनुपात वाली वस्तु बेहतर संयोजन को रोक सकती है, इसलिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग चाहिए।

उत्तर

D · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है

यह उत्तर क्यों है

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ में किनारा {u, v} का अर्थ है कि M[u][v] और M[v][u] दोनों सेट हैं, इसलिए मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के बराबर है।

उत्तर

D · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है

यह उत्तर क्यों है

हीपसॉर्ट एक मैक्स-हीप बनाता है और उसी ऐरे के भीतर n बार अधिकतम निकालता है; लंबी दूरी के स्वैप समान कुंजियों का क्रम बदल सकते हैं।

उत्तर

D · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

17 − 1 = 16

हटाई जाने वाली कोरें

k = 17 − 16 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 48

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

DE (3): लें
BE (7): लें
CE (9): लें
BC (10): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (13): लें
BD (14): छोड़ें, चक्र बनता है
DF (16): लें

कुल भार

W = 3 + 7 + 9 + 13 + 16 = 48

उत्तर

W = 48

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