डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मानक तीन लूप से दो n × n मैट्रिक्स गुणा करने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

डायनेमिक प्रोग्रामिंग से हल की गई 0/1 नैपसैक (knapsack) समस्या में O(nW) समय लगता है। इसे स्यूडो-पॉलिनोमियल (pseudo-polynomial) क्यों कहा जाता है?

  1. AW एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
  2. Bक्योंकि यह केवल W = 0 के लिए काम करता है
  3. Cक्योंकि n हमेशा छोटा होता है
  4. Dक्योंकि एल्गोरिदम यादृच्छिक (randomised) है और उसका रनिंग टाइम हर इनपुट के साथ बदलता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री के एक नोड का दायाँ सबट्री है। उसका इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी (successor) कहाँ है?

  1. Aउसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
  2. Bउसके बाएँ सबट्री का सबसे दायाँ नोड
  3. Cहमेशा उसका दायाँ चाइल्ड
  4. Dहमेशा उसका पैरेंट
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी संरचना ऐरे में आकार k की हर विंडो का अधिकतम कुल O(n) में निकालने देती है?

  1. Aविंडो के तत्वों की सिंगली लिंक्ड लिस्ट
  2. Bमान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
  3. Cखिसकाकर अपडेट किया जाने वाला सॉर्टेड ऐरे
  4. Dहर विंडो के लिए फिर से बनाया गया मिन-हीप
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 10 शीर्ष और 10 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 10|E| = 10
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
51679142041017ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 9
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n³)

यह उत्तर क्यों है

n² प्रविष्टियाँ हैं और हर एक को n गुणन चाहिए, जिससे n³ ऑपरेशन होते हैं।

उत्तर

C · O(n³)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है

यह उत्तर क्यों है

रनिंग टाइम W के मान में बहुपद है लेकिन उसकी लंबाई (log W बिट्स) में घातांकी है; 0/1 नैपसैक NP-complete है।

उत्तर

A · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड

यह उत्तर क्यों है

नोड के निकट की सभी बड़ी कुंजियाँ उसके दाएँ सबट्री में हैं, और उनमें सबसे छोटी वहाँ का सबसे बायाँ नोड है।

उत्तर

A · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक

यह उत्तर क्यों है

डीक का आगे वाला तत्व हमेशा विंडो का अधिकतम होता है; हर इंडेक्स डीक में एक बार आता और जाता है, इसलिए कार्य रैखिक है।

उत्तर

B · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 1

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

10 − 1 = 9

हटाई जाने वाली कोरें

k = 10 − 9 = 1

उत्तर

k = 1
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 55

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

GB (4): लें
AB (5): लें
BD (7): लें
DE (9): लें
GD (10): छोड़ें, चक्र बनता है
DF (14): लें
BC (16): लें

कुल भार

W = 4 + 5 + 7 + 9 + 14 + 16 = 55

उत्तर

W = 55

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