डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

मानक तीन लूप से दो n × n मैट्रिक्स गुणा करने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n³)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n² log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

log(n!) के लिए कौन-सी सीमा सही है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक सड़क नेटवर्क में 100,000 जंक्शन हैं, हर एक लगभग 4 अन्य से जुड़ा है। कौन-सा निरूपण सबसे उपयुक्त है?

  1. Aकिनारों का बाइनरी हीप
  2. Bएडजेसेंसी मैट्रिक्स
  3. Cशीर्षों का एक सॉर्टेड ऐरे
  4. Dएडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक सर्वर अपना हैश फ़ंक्शन यूनिवर्सल फ़ैमिली से यादृच्छिक रूप से क्यों चुन सकता है?

  1. Aताकि यह बहुत असंभाव्य हो कि कोई हमलावर ऐसी कई कुंजियाँ चुन सके जो सभी टकराएँ
  2. Bयह गारंटी देने के लिए कि हमलावर चाहे जो कुंजियाँ भेजे, कोई दो कुंजियाँ कभी न टकराएँ
  3. Cटेबल का आकार बदलने की आवश्यकता हटाने के लिए
  4. Dहैश टेबल को सॉर्टेड बनाने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
10971413181ABCDE

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 5|E| = 7
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n³)

यह उत्तर क्यों है

n² प्रविष्टियाँ हैं और हर एक को n गुणन चाहिए, जिससे n³ ऑपरेशन होते हैं।

उत्तर

A · O(n³)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Θ(n log n)

यह उत्तर क्यों है

log(n!) ≤ n log n, और सबसे बड़े n / 2 गुणक log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) देते हैं; इसीलिए तुलना-आधारित सॉर्टिंग को Ω(n log n) चाहिए।

उत्तर

A · Θ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · एडजेसेंसी लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

मैट्रिक्स को 1010 सेल चाहिए होंगे, लगभग सभी ख़ाली; एडजेसेंसी लिस्ट केवल लगभग 400,000 किनारा प्रविष्टियाँ संग्रहीत करती है।

उत्तर

D · एडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · ताकि यह बहुत असंभाव्य हो कि कोई हमलावर ऐसी कई कुंजियाँ चुन सके जो सभी टकराएँ

यह उत्तर क्यों है

यूनिवर्सल हैशिंग के साथ किसी भी कुंजी समुच्चय के लिए कोलिज़न की अपेक्षित संख्या कम होती है, क्योंकि हमलावर नहीं जानता कि कौन-सा फ़ंक्शन चुना गया।

उत्तर

A · ताकि यह बहुत असंभाव्य हो कि कोई हमलावर ऐसी कई कुंजियाँ चुन सके जो सभी टकराएँ
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

विषम शीर्ष

D, F → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 31

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BE (1): लें
BC (7): लें
AC (9): लें
AB (10): छोड़ें, चक्र बनता है
CE (13): छोड़ें, चक्र बनता है
BD (14): लें

कुल भार

W = 1 + 7 + 9 + 14 = 31

उत्तर

W = 31

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