डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

वर्स्ट केस में तुलना-आधारित (comparison-based) सॉर्टिंग की निचली सीमा क्या है?

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

  1. ANP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
  2. BNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
  3. Cहल करना असंभव है
  4. Dबहुपद समय में हल की जा सकती है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

चलता हुआ प्रोग्राम सक्रिय फ़ंक्शन कॉल और उनके स्थानीय वेरिएबल का हिसाब रखने के लिए कौन-सी डेटा संरचना उपयोग करता है?

  1. Aफ़्रेमों का बाइनरी सर्च ट्री
  2. Bकॉल स्टैक
  3. Cहीप मेमोरी क्यू
  4. Dफ़ंक्शनों की हैश टेबल
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सेगमेंट ट्री का उपयोग आमतौर पर किसके लिए किया जाता है?

  1. Aस्टैक लागू करने के लिए
  2. Bरेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
  3. Cग्राफ़ के किनारे संग्रहीत करने के लिए
  4. Dहर प्रीफ़िक्स को अलग ट्री नोड में संग्रहीत करके स्ट्रिंग्स को वर्णानुक्रम में क्रमबद्ध करने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K5 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K5
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
78111791311510206ABCDEFG

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 2 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 2
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर DF
  8. 8कोर EF
  9. 9कोर GB
  10. 10कोर GC
  11. 11कोर GD

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Ω(n log n)

यह उत्तर क्यों है

किसी भी तुलना-आधारित सॉर्ट को वर्स्ट केस में कम से कम log₂(n!) ≈ n log n तुलनाओं की आवश्यकता होती है। काउंटिंग सॉर्ट इससे बेहतर है क्योंकि यह तुलना नहीं करता।

उत्तर

B · Ω(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP-complete समस्याएँ NP में सबसे कठिन हैं; इनमें से किसी एक के लिए बहुपद एल्गोरिदम पूरे NP के लिए एक एल्गोरिदम दे देगा।

उत्तर

A · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · कॉल स्टैक

यह उत्तर क्यों है

हर कॉल एक स्टैक फ़्रेम push करती है और हर return उसे pop करता है, इसीलिए सबसे हाल की कॉल पहले समाप्त होती है।

उत्तर

B · कॉल स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए

यह उत्तर क्यों है

सेगमेंट ट्री अंतरालों के समुच्चय मान संग्रहीत करता है, जिससे रेंज क्वेरी और पॉइंट अपडेट O(log n) समय में होते हैं।

उत्तर

B · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

उत्तर

H = 12
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर GD

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. DF (1)
2. GD (6)
3. AB (7)
4. AC (8)
5. CE (9)
6. GB (10)

कोर संख्या 2

GD

उत्तर

कोर GD

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