डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कौन-सी तकनीक किसी भी इनपुट पर क्विकसॉर्ट को अपेक्षित (expected) O(n log n) रनिंग टाइम देती है?

  1. Aकेवल बाईं ओर रिकर्शन का उपयोग करना
  2. Bहमेशा पहला तत्व चुनना
  3. Cक्विकसॉर्ट चलाने से पहले इनपुट को सॉर्ट करना
  4. Dपिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

संतुलित बाइनरी सर्च ट्री में किसी कुंजी को खोजने की समय जटिलता क्या है?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सिंपल यूनिफ़ॉर्म हैशिंग के अंतर्गत n कुंजियों और m बकेटों वाली चेनिंग हैश टेबल में खोज का अपेक्षित समय क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(1 + α), जहाँ α = n / m
  4. DO(log n)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
4116292013ABCDEF

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 5 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 5
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(V × E)

यह उत्तर क्यों है

V − 1 दौरों में से हर एक सभी E किनारों को रिलैक्स करता है, जिससे O(VE) मिलता है; बदले में यह ऋणात्मक किनारा भार सँभालता है।

उत्तर

B · O(V × E)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · पिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक पिवट के साथ हर इनपुट के लिए अपेक्षित रनिंग टाइम O(n log n) होता है; खराब मामले अब भी मौजूद हैं लेकिन बहुत असंभाव्य हैं।

उत्तर

D · पिवट को समान रूप से यादृच्छिक (uniformly at random) चुनना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

संतुलित ट्री की ऊँचाई लगभग log₂ n होती है, इसलिए खोज रूट से पत्ती तक एक ही पथ का अनुसरण करती है।

उत्तर

D · O(log n)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(1 + α), जहाँ α = n / m

यह उत्तर क्यों है

हैश की गणना में O(1) लगता है और अपेक्षित शृंखला लंबाई α है, इसलिए आकार बदलकर α को सीमित रखने से O(1) अपेक्षित समय मिलता है।

उत्तर

C · O(1 + α), जहाँ α = n / m
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BC

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. EF (1)
2. BD (2)
3. BE (3)
4. AB (4)
5. BC (6)

कोर संख्या 5

BC

उत्तर

कोर BC

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