डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आप n तत्वों का ऐरे एक बार सॉर्ट करते हैं और फिर बाइनरी सर्च से k सदस्यता प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कुल लागत क्या है?

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(n + k)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

करात्सुबा गुणन T(n) = 3T(n/2) + O(n) को संतुष्ट करता है। इसका हल क्या है?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), लगभग n1.585
  4. DΘ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

निश्चित वर्णमाला वाले ट्राई (trie) में L लंबाई के शब्द को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(L × n)
  2. BO(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
  3. CO(log n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
  4. DO(n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सा गुण हर B-ट्री को पूर्णतः संतुलित रखता है?

  1. Aकुंजियाँ केवल रूट में संग्रहीत होती हैं
  2. Bहर नोड एक कुंजी संग्रहीत करता है
  3. Cसभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं
  4. Dहर नोड के ठीक दो चाइल्ड होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 3 की कितनी बंद वॉक E से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n log n + k log n)

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टिंग में O(n log n) और हर प्रश्न में O(log n) लगता है; जब k बड़ा हो तो यह k रैखिक स्कैन (O(nk)) से बेहतर है।

उत्तर

C · O(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(nlog₂ 3), लगभग n1.585

यह उत्तर क्यों है

चूँकि log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, मास्टर प्रमेय से पत्तियाँ (leaves) प्रभावी होती हैं, जो O(n²) पारंपरिक विधि से बेहतर है।

उत्तर

C · Θ(nlog₂ 3), लगभग n1.585
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र

यह उत्तर क्यों है

हर अक्षर एक चाइल्ड चुनता है, इसलिए ट्राई में कितने भी शब्द हों, खोज में L चरण लगते हैं।

उत्तर

B · O(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · सभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं

यह उत्तर क्यों है

भरने पर नोड ऊपर की ओर विभाजित होते हैं और ट्री तभी ऊँचा होता है जब रूट विभाजित हो, इसलिए सभी लीफ़ हमेशा एक ही स्तर पर रहते हैं।

उत्तर

C · सभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

B, C → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

एक कदम और

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 3·0 = 2

उत्तर

N = 2

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